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袄肇莂羃螄艿蚀∴?==k2，
衿薂螄羄袆袀莃即
+m2=0，又m≠0，所以k2=，即k=±．
螂莂肃蚈肀羁羄由△＞0，及直线OP，OQ的斜率存在，得0＜m2＜2， ∵|PQ|=
?
==
≤1，当m2=1时取等号， =
，
膄薇蒀膀螃蒇莇蚇羈荿薅蚇腿羂点O到直线的距离d=S△OPQ=|PQ|?d=
蝿蕿肂螇螆肁蚂虿袄羇薈芁蒃袇此时直线l的方程为y=±x±1时，S△OPQ的最大值为1．
21．（12分）已知函数f（x）=（1﹣ax）ex+b在点（1，f（1））处的切
蒂膆肆蒁肁肆芇线方程是y=﹣ex+e﹣1．
芆袈薁袃芆聿衿（1）求a，b的值及函数f（x）的最大值； （2）若实数x，y满足xey=ex﹣1（x＞0）． （i）证明：0＜y＜x； （ii）若x＞2，证明：y＞1．
【解答】（1）由点（1，f（1））在切线上可知，f（1）=﹣e+e﹣1=﹣1，
虿螀蚅莆蚇肈芄羀膂薆蒈蒂螁蒆羄螅羆蚂薃蚆芇袅螈袂膁袅聿膀即切点为（1，﹣1）
薀羂羃羅薇芀薂又f'（x）=﹣aex+（1﹣ax）ex=ex（1﹣ax﹣a），由题可知f'（1）=﹣e，
则
膁螄膅莈葿莄肅f'（1）=e1（1﹣2a）=﹣e，则1﹣2a=﹣1，解得a=1，
节莅袆虿袁芅膇即f（x）=（1﹣x）ex+b，又由f（1）=﹣1，可得b=﹣1， 故a=1，b=﹣1；即f（x）=（1﹣x）ex﹣1； 由上知f'（x）=ex（1﹣x﹣1）=﹣xex，
当x＜0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，x＞0时，f'（x）＜0，f（x）
蒄蚈蝿蚃蒄罿莁蒀罿蒅薄蒇薁肄莂羃螄艿蚀薂蚄单调递减，
螄羄袆袀莃袄肇故．
，
肃蚈肀羁羄衿薂（2）由实数x，y满足xey=ex﹣1（x＞0）可得，
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蒀膀螃蒇莇螂莂即
（i）先证y＜x，
，
，
荿薅蚇腿羂膄薇肂螇螆肁蚂蚇羈由（1）知f（x）=（1﹣x）ex﹣1＜0=f（x）max， 则有
，即证得y＜x；
羇薈芁蒃袇蝿蕿肆蒁肁肆芇虿袄再证明y＞0，令g（x）=ex﹣x﹣1（x＞0），则g'（x）=ex﹣1＞0（x＞0）， 故函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，故g（x）＞g（0）=0， 故在（0，+∞）上恒有ex＞x+1，即则
，即y＞0，
，
薁袃芆聿衿蒂膆蚅莆蚇肈芄芆袈薆蒈蒂螁蒆虿螀羆蚂薃蚆芇羀膂综上，0＜y＜x，证毕． （ii）由（1）可知，令
，则
，
，
袂膁袅聿膀羄螅羃羅薇芀薂袅螈膅莈葿莄肅薀羂又由上可知，x＞0时，恒有（1﹣x）ex﹣1＜0，则xex﹣ex+1＞0恒成立， 故则有
薄蒇薁袆虿袁芅膇膁螄恒成立，即h（x）在（0，+∞）上单调递增， ，
肄蒄蚈蝿蚃蒄罿莁节莅蒅又
因为
螄艿蚀薂蚄蒀罿故h（2）＞e，则h（x）＞e，
即x＞2时，h（x）＞e，即ey＞e，即y＞1， 故x＞2时，y＞1；
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
袆袀莃袄肇莂羃肀羁羄衿薂螄羄螃蒇莇螂莂肃蚈记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
蚇腿羂膄薇蒀膀22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的非负半轴
为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ．
螆肁蚂蚇羈荿薅（I）若曲线C2，参数方程为：（α为参数），求曲线C1的
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直角坐标方程和曲线C2的普通方程
芁蒃袇蝿蕿肂螇（Ⅱ）若曲线C2，参数方程为 （t为参数），A（0，1），且的取值范围，
曲线C1，与曲线C2交点分别为P，Q，求
肁肆芇虿袄羇薈【解答】解：（I）∵曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ． ∴ρ2=2ρcosθ，x2+y2=2x． 曲线C2，参数方程为：
（α为参数），
芆聿衿蒂膆肆蒁蚇肈芄芆袈薁袃蒂螁蒆虿螀蚅莆∴曲线C2的普通方程：x2+（y﹣1）2=t2． （II）将C2的参数方程：
（α为参数），
薃蚆芇羀膂薆蒈袅聿膀羄螅羆蚂代入C1的方程得：t2+（2sinα﹣2cosα）t+1=0， ∵△=（2sinα﹣2cosα）2﹣4=8∴|∴
|∈∈
， ∪
，
﹣4＞0，
薇芀薂袅螈袂膁葿莄肅薀羂羃羅袁芅膇膁螄膅莈蒄罿莁节莅袆虿∴t1+t2=﹣（2sinα﹣2cosα），t1t2=1， ∴t1与t2同号， ∴|t1|+|t2|=|t1+t2|， 由的几何意义可得：=2∴
|
|∈（2，2∈（2，2
]．
=]，
+
=
=
蒇薁肄蒄蚈蝿蚃蚀薂蚄蒀罿蒅薄莃袄肇莂羃螄艿羄衿薂螄羄袆袀莇螂莂肃蚈肀羁羂膄薇蒀膀螃蒇[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|2x+b|+|2x﹣b|．
蚂蚇羈荿薅蚇腿袇蝿蕿肂螇螆肁（I）若b=1．解不等式f（x）＞4．
芇虿袄羇薈芁蒃（Ⅱ）若不等式f（a）＞|b+1|对任意的实数a恒成立，求b的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+b|+|2x﹣b|， b=1时，不等式f（x）＞4为|2x+b|+|2x﹣b|＞4，
衿蒂膆肆蒁肁肆芄芆袈薁袃芆聿请下载支持！
蒆虿螀蚅莆蚇肈它等价于或或，
芇羀膂薆蒈蒂螁解得x＞1或x＜﹣1或x∈?；
∴不等式f（x）＞4的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）． （Ⅱ）f（a）=|2a+b|+|2a﹣b|
=|2a+b|+|b﹣2a|≥|（2a+b）+（b﹣2a）|=|2b|，
当且仅当（2a+b）（b﹣2a）≥0时f（a）取得最小值为|2b|； 令|2b|＞|b+1|，得（2b）2＞（b+1）2， 解得b＜﹣或b＞1，
膀羄螅羆蚂薃蚆薂袅螈袂膁袅聿肅薀羂羃羅薇芀膇膁螄膅莈葿莄莁节莅袆虿袁芅肄蒄蚈蝿蚃蒄罿∴b的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）．
2024年东北三省三校(哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学)高考数学三模试卷(理科)
