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羂薆芀膀薅膅袆2024年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（理科）
莇莀羁蚄羇芀膃一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
薀蕿袄蒄蒀螀膂1．（5分）已知集合A={x|A．{﹣1，0，1}
D．{0}
2．（5分）已知复数z=A．5
B．
≤0}，B={0，1，2，3}，则A∩B=（ ）
B．{0，1}
C．{﹣1，0}
莁肄芆虿薂莂袅
膄螄衿肀蒂蚇蝿，则复数z的模为（ ） C．
蚅罿袂蚁芅衿衿D．
腿葿袁肆聿蚀莃3．（5分）在2024年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市
高中教师的培训成绩X～N（85.9），若已知P（80＜X≤85）=0.35，则从哈市高中教师中任选位教师，他的培训成绩大于90分的概率为（ ）
芁芅薄艿蒂薃蒇A．0.85 B．0.65 C．0.35 D．0.15
蒅莆蒈羀螃羅莈4．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，S10=3S5，则a6=
（ ）
袄薈螂袃螇蒈蝿A．2 B．
C．4 D．1
螈荿肂芄蚈薁薄5．（5分）已知cos（A．
）=，则sin2α=（ ）
C．
膁节肆袈莂螄蚅B．
D．
，则
与夹
莂蚄肇羀羄蒇羈6．（5分）非零向量，满足；||=||，
角的大小为（ ）
蒆膇螂膄肅肇虿A．135° B．120° C．60° D．45°
莇芀芃袇芇蒁薂7．（5分）如图是某几何体的视图，则该几何体的体积为（ ） A．
B．
C．
D．
肁蒃莄蒇节螁芈蚃膆蚆袀膅螅薇8．（5分）已知实数a，b满足0≤a≤1，0≤b≤1，则函数f（x）=x3﹣
ax2+bx+1存在极值的概率为（ ）
螄螆蚂莅薇蚆蕿A． B． C． D．
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芀膀薅膅袆莁螃9．（5分）执行下面的程序框图，若输入S，a的值分别为1，2，输出的
n值为4，则m的取值范围为（ ）
羁蚄羇芀膃羂薆A．3＜m≤7
D．31＜m≤63
B．7＜m≤15 C．15＜m≤31
袄蒄蒀螀膂莇莀10．（5分）已知点F1，F2分别是双曲线C：（a＞0，b＞0），
的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上|F1F2|=2|OP|，△PF1F2的面积为4，且该双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线C的方程为（ ）
芆虿薂莂袅薀蕿A．
B．
衿肀蒂蚇蝿莁肄C．=1 D．
袂蚁芅衿衿膄螄11．（5分）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AD中点，过
点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为（ ）
袁肆聿蚀莃蚅罿A．5 B．2
C．2
D．6
薄艿蒂薃蒇腿葿12．（5分）已知函数f（x）=，函数y=f（x）﹣a有四
个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x1x2+x3x4的取值范围为（ ）
蒈羀螃羅莈芁芅A．[4，5） B．（4，5] C．[4，+∞） D．（﹣∞，4]
螂袃螇蒈蝿蒅莆二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）过抛物线C：x2=4y的焦点F的直线与抛物线C交于A、B两
肂芄蚈薁薄袄薈点，若弦AB中点到x轴的距离为5，则|AB|= ．
肆袈莂螄蚅螈荿14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值
为 ．
肇羀羄蒇羈膁节15．（5分）已知数列{an}满足a1=1，an+1=，记Cn=，则数列{Cn}
的前n项和C1+C2+…+Cn= ．
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螂膄肅肇虿莂蚄16．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（1+x）=f（1﹣x），
]时，f（ax）＜f（x﹣1）成立，则实
②在[1，+∞）上为增函数；若x∈[数a的取值范围为 ．
芃袇芇蒁薂蒆膇三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤.）
莄蒇节螁芈莇芀17．（12分）已知=（2sinωx，sinωx+cosωx），=（cosωx，
，直线x=
（sinωx
﹣cosωx）），0＜ω＜1函数f（x）=对称轴．
蚆袀膅螅薇肁蒃是函数f（x）图象的一条
（I）求函数f（x）的解析式及单调递增区间； （Ⅱ）在△ABC中，已知f（A）=0，c=3，a=
，求b边长
蚂莅薇蚆蕿蚃膆薅膅袆莁螃螄螆18．（12分）哈师大附中高三学年统计甲、乙两个班级一模数学分数，
每个班级20名同学，现有甲、乙两班本次考试数学分数如下列茎叶图所示：
羇芀膃羂薆芀膀（I）根据茎叶图求甲、乙两班同学数学分数的中位数，并将乙班同学的
分数的频率分布直方图填充完整；
蒀螀膂莇莀羁蚄（Ⅱ）根据茎叶图比较在一模考试中，甲、乙两班同学数学分数的平均
水平和分数的分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）
薂莂袅薀蕿袄蒄（Ⅲ）若规定分数在[100，120）的成绩为良好，分数在[120，150）的
成绩为优秀，现从甲、乙两班成绩为优秀的同学中，按照各班成绩为优秀的同学人数占两班总的优秀人数的比例分层抽样，共选出12位同学参加数学提优培训，求这12位同学中恰含甲、乙两班所有140分以上的同学的概率．
蒂蚇蝿莁肄芆虿19．（12分）已知等腰直角△S′AB，S′A=AB=4，S′A⊥AB，C，D分别为S′B，
，取线段SB的中点为
S′A的中点，将△S′CD沿CD折到△SCD的位置，SA=2E．
芅衿衿膄螄衿肀（I）求证：CE∥平面SAD；
（Ⅱ）求二面角A﹣EC﹣B的余弦值． 20．（12分）已知椭圆C：
（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），
和2
．
聿蚀莃蚅罿袂蚁蒂薃蒇腿葿袁肆点P为椭圆C上的动点，若|PF|的最大值和最小值分别为2
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螃羅莈芁芅薄艿（I）求椭圆C的方程
（Ⅱ）设不过原点的直线l与椭圆C交于P，Q两点，若直线OP，PQ，
螇蒈蝿蒅莆蒈羀OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的最大值
蚈薁薄袄薈螂袃21．（12分）已知函数f（x）=（1﹣ax）ex+b在点（1，f（1））处的切
线方程是y=﹣ex+e﹣1． 莂螄蚅螈荿肂芄（1）求a，b的值及函数f（x）的最大值； （2）若实数x，y满足xey=ex﹣1（x＞0）． （i）证明：0＜y＜x； （ii）若x＞2，证明：y＞1．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
羄蒇羈膁节肆袈肅肇虿莂蚄肇羀芇蒁薂蒆膇螂膄节螁芈莇芀芃袇记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
膅螅薇肁蒃莄蒇22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的非负半轴
为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ．
薇蚆蕿蚃膆蚆袀（I）若曲线C2，参数方程为：（α为参数），求曲线C1的
直角坐标方程和曲线C2的普通方程
袆莁螃螄螆蚂莅（Ⅱ）若曲线C2，参数方程为 （t为参数），A（0，1），且的取值范围，
曲线C1，与曲线C2交点分别为P，Q，求
膃羂薆芀膀薅膅[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|2x+b|+|2x﹣b|．
膂莇莀羁蚄羇芀袅薀蕿袄蒄蒀螀（I）若b=1．解不等式f（x）＞4．
蝿莁肄芆虿薂莂（Ⅱ）若不等式f（a）＞|b+1|对任意的实数a恒成立，求b的取值范围．
衿膄螄衿肀蒂蚇2024年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、
辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（理科）
莃蚅罿袂蚁芅衿参考答案与试题解析
蒇腿葿袁肆聿蚀一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
莈芁芅薄艿蒂薃1．（5分）已知集合A={x|≤0}，B={0，1，2，3}，则A∩B=（ ）
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蝿蒅莆蒈羀螃羅A．{﹣1，0，1}
D．{0}
B．{0，1} C．{﹣1，0}
薄袄薈螂袃螇蒈【解答】解：∵集合A={x|B={0，1，2，3}，
≤0}={x|﹣1≤x＜1}，
蚅螈荿肂芄蚈薁羈膁节肆袈莂螄∴A∩B={0}． 故选：D．
2．（5分）已知复数z=A．5
B．
虿莂蚄肇羀羄蒇薂蒆膇螂膄肅肇，则复数z的模为（ ） C．==
， ．
芈莇芀芃袇芇蒁D．
薇肁蒃莄蒇节螁【解答】解：∵z=∴|z|=|故选：B．
|=
蕿蚃膆蚆袀膅螅螃螄螆蚂莅薇蚆薆芀膀薅膅袆莁3．（5分）在2024年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市
高中教师的培训成绩X～N（85.9），若已知P（80＜X≤85）=0.35，则从哈市高中教师中任选位教师，他的培训成绩大于90分的概率为（ ）
莀羁蚄羇芀膃羂A．0.85 B．0.65 C．0.35 D．0.15
蕿袄蒄蒀螀膂莇【解答】解：∵学生成绩X服从正态分布N（85，9）， ∴其图象关于直线x=85对称， ∵P（80＜X≤85）=0.35，
∴P（85＜X≤90）=P（80＜X≤85）=0.35，
∴P（X＞90）=0.5﹣P（85＜X≤90）=0.5﹣0.35=0.15． 故选：D．
4．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，S10=3S5，则a6=
肄芆虿薂莂袅薀螄衿肀蒂蚇蝿莁罿袂蚁芅衿衿膄葿袁肆聿蚀莃蚅芅薄艿蒂薃蒇腿莆蒈羀螃羅莈芁（ ）
薈螂袃螇蒈蝿蒅A．2 B．
C．4 D．1
荿肂芄蚈薁薄袄【解答】解：设等比数列{an}的公比为q≠1，∵a1=1，S10=3S5， ∴
=3×
，可得：q5+1=3，解得q5=2．
节肆袈莂螄蚅螈蚄肇羀羄蒇羈膁则a6=1×2=2．
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膇螂膄肅肇虿莂故选：A．
5．（5分）已知cos（A．
芀芃袇芇蒁薂蒆）=，则sin2α=（ ）
C．）=，即 ，
蒃莄蒇节螁芈莇B．
D．
cosα+
sinα=，平方可得
膆蚆袀膅螅薇肁【解答】解：∵cos（
，∴sinαcosα=
，
+sinαcosα=
螆蚂莅薇蚆蕿蚃则sin2α=2sinαcosα=故选：B． 膀薅膅袆莁螃螄蚄羇芀膃羂薆芀6．（5分）非零向量，满足；||=||，，则与夹
角的大小为（ ）
蒄蒀螀膂莇莀羁A．135° B．120° C．60° ，=
|=|
，则﹣=|，且
⊥
D．45° ﹣， =
，
虿薂莂袅薀蕿袄【解答】解：根据题意，设=若|
|=||，
肀蒂蚇蝿莁肄芆，即|
蚁芅衿衿膄螄衿则△OAB为等腰直角三角形， 则
与的夹角为180°﹣45°=135°，
肆聿蚀莃蚅罿袂艿蒂薃蒇腿葿袁故选：A．
7．（5分）如图是某几何体的视图，则该几何体的体积为（ ） A．
B．
C．
D．
羀螃羅莈芁芅薄袃螇蒈蝿蒅莆蒈芄蚈薁薄袄薈螂【解答】解：根据三视图得到几何体的复原图为： 所以：V=故选：B．
8．（5分）已知实数a，b满足0≤a≤1，0≤b≤1，则函数f（x）=x3﹣
，
袈莂螄蚅螈荿肂羀羄蒇羈膁节肆膄肅肇虿莂蚄肇ax2+bx+1存在极值的概率为（ ）
袇芇蒁薂蒆膇螂A． B． C． D．
蒇节螁芈莇芀芃【解答】解：对f（x）=x3﹣ax2+bx+1求导数可得f′（x）=3x2﹣2ax+b， 由函数有极值可得△=4a2﹣12b＞0，即b＜a2，
袀膅螅薇肁蒃莄请下载支持！
莅薇蚆蕿蚃膆蚆∴满足0≤a≤1，0≤b≤1的点（a，b）的区域为边长为1正方形， ∴满足0≤a≤1，0≤b≤1且b＜a2的点（a，b）的区域为正方形内曲
膅袆莁螃螄螆蚂线b=a2下方的部分，
芀膃羂薆芀膀薅由定积分可得S=∴所求概率为P=， 故选：A．
=a3
=，而正方形的面积为1，
螀膂莇莀羁蚄羇莂袅薀蕿袄蒄蒀蚇蝿莁肄芆虿薂9．（5分）执行下面的程序框图，若输入S，a的值分别为1，2，输出的
n值为4，则m的取值范围为（ ）
衿衿膄螄衿肀蒂A．3＜m≤7
D．31＜m≤63
B．7＜m≤15 C．15＜m≤31
蚀莃蚅罿袂蚁芅【解答】解：根据程序框图：S=1，a=2，n=1， 当1＜m时，S=1+21=3，a=2，n=2， 当3＜m时，S=3+22=7，a=2，n=3， 当7＜m时，S=7+23=15，a=2，n=4， 输出n=4， 故：7＜m≤15， 故选：B．
10．（5分）已知点F1，F2分别是双曲线C：
（a＞0，b＞0），
薃蒇腿葿袁肆聿羅莈芁芅薄艿蒂蒈蝿蒅莆蒈羀螃薁薄袄薈螂袃螇螄蚅螈荿肂芄蚈蒇羈膁节肆袈莂肇虿莂蚄肇羀羄的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上|F1F2|=2|OP|，△PF1F2的面积为4，且该双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线C的方程为（ ）
蒁薂蒆膇螂膄肅A．
B．
螁芈莇芀芃袇芇C．=1 D．
螅薇肁蒃莄蒇节【解答】解：由|F1F2|=2|OP|，可得|OP|=c， 即有△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2， ∵△PF1F2的面积为4，
蚆蕿蚃膆蚆袀膅莁螃螄螆蚂莅薇请下载支持！
羂薆芀膀薅膅袆∴|PF1|?|PF2|=8，
∵|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2，
∴（|PF1|﹣|PF2|）2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|?|PF2|， 由双曲线定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a， ∴4a2=4c2﹣16， ∴b2=4，
∵该双曲线的两条渐近线互相垂直， ∴a=b，
∴双曲线C的方程为故选：B．
11．（5分）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AD中点，过
﹣
=1， 莇莀羁蚄羇芀膃薀蕿袄蒄蒀螀膂莁肄芆虿薂莂袅膄螄衿肀蒂蚇蝿蚅罿袂蚁芅衿衿腿葿袁肆聿蚀莃芁芅薄艿蒂薃蒇蒅莆蒈羀螃羅莈袄薈螂袃螇蒈蝿螈荿肂芄蚈薁薄点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为（ ）
膁节肆袈莂螄蚅A．5 B．2
C．2
D．6
莂蚄肇羀羄蒇羈【解答】解：取BC中点F，A1D1中点G，连结DF、B1F、DB1、DG、GB1，
GF，
蒆膇螂膄肅肇虿∵棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AD中点， ∴BE∥DF，A1E∥GD，
又A1E∩BE=E，DG∩DF=D，A1E、BE?平面A1BE，DG、DF?平面DFB1G， ∴过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面为四边形DFB1G， ∵DF=FB1=B1G=DG=DB1=GF=2
=2=2
， ，
，
莇芀芃袇芇蒁薂肁蒃莄蒇节螁芈蚃膆蚆袀膅螅薇螄螆蚂莅薇蚆蕿芀膀薅膅袆莁螃羁蚄羇芀膃羂薆袄蒄蒀螀膂莇莀∴过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为：
=
=
=2
．
芆虿薂莂袅薀蕿衿肀蒂蚇蝿莁肄故选：C．
袂蚁芅衿衿膄螄12．（5分）已知函数f（x）=，函数y=f（x）﹣a有四
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个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x1x2+x3x4的取值范围为（ ）
袁肆聿蚀莃蚅罿A．[4，5） B．（4，5] C．[4，+∞） D．（﹣∞，4] ﹣3=1，
薄艿蒂薃蒇腿葿【解答】解：当x＞0时，f（x）=x+﹣3≥2可得f（x）在x＞2递增，在0＜x＜2处递减， 由f（x）=e
，x≤0，
蒈羀螃羅莈芁芅螂袃螇蒈蝿蒅莆肂芄蚈薁薄袄薈x＜﹣1时，f（x）递减；﹣1＜x＜0时，f（x）递增，
肆袈莂螄蚅螈荿可得x=﹣1处取得极小值1， 作出f（x）的图象，以及直线y=a， 可得e
=e
=x3+
﹣3=x4+
﹣3，
肇羀羄蒇羈膁节螂膄肅肇虿莂蚄芃袇芇蒁薂蒆膇即有x1+1+x2+1=0，可得x1=﹣2﹣x2，﹣1＜x2≤0， x3﹣x4=
﹣
=
，
莄蒇节螁芈莇芀蚆袀膅螅薇肁蒃可得x3x4=4，
x1x2+x3x4=4﹣2x2﹣x22=﹣（x2+1）2+5，在﹣1＜x2≤0递减，
蚂莅薇蚆蕿蚃膆薅膅袆莁螃螄螆可得所求范围为[4，5）． 故选：A．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）过抛物线C：x2=4y的焦点F的直线与抛物线C交于A、B两
羇芀膃羂薆芀膀蒀螀膂莇莀羁蚄薂莂袅薀蕿袄蒄点，若弦AB中点到x轴的距离为5，则|AB|= 6 ．
蒂蚇蝿莁肄芆虿【解答】解法一：抛物线C：x2=4y的焦点F（0，1）， 过焦点的直线方程为y=kx+1， 联立
，得x2﹣4kx﹣4=0，
芅衿衿膄螄衿肀聿蚀莃蚅罿袂蚁蒂薃蒇腿葿袁肆△=16k2+16＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，y1+y2=k（x1+x2）+2， ∵弦AB中点到x轴的距离为5， ∴y1+y2=k（x1+x2）+2=4k2+2=10， 解得k2=2，
螃羅莈芁芅薄艿螇蒈蝿蒅莆蒈羀蚈薁薄袄薈螂袃莂螄蚅螈荿肂芄请下载支持！
羄蒇羈膁节肆袈设直线AB的倾斜角为θ，则tan2θ=2，sin2θ=，cos2θ=， ∴|AB|=
==12．
肅肇虿莂蚄肇羀芇蒁薂蒆膇螂膄解法二：抛物线C：x2=4y的焦点F（0，1）， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， ∵弦AB中点到x轴的距离为5， ∴y1+y2=10， ∴|AB|=y1+y2+p=12． 故答案为：12．
节螁芈莇芀芃袇膅螅薇肁蒃莄蒇薇蚆蕿蚃膆蚆袀袆莁螃螄螆蚂莅膃羂薆芀膀薅膅膂莇莀羁蚄羇芀14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为 ﹣
2 ．
【解答】解：由x，y满足约束条件
作出可行域如图，
袅薀蕿袄蒄蒀螀蝿莁肄芆虿薂莂A（﹣1，1），
衿膄螄衿肀蒂蚇化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过点A时，直
线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣2．
莃蚅罿袂蚁芅衿故答案为：﹣2．
15．（5分）已知数列{an}满足a1=1，an+1=
，记Cn=
，则数列{Cn}
蒇腿葿袁肆聿蚀的前n项和C1+C2+…+Cn= n?2n ．
莈芁芅薄艿蒂薃【解答】解：数列{an}满足a1=1，an+1=可得：所以{所以
，
，
蝿蒅莆蒈羀螃羅薄袄薈螂袃螇蒈}是等差数列，首项为：1，公差为：， =1+（n﹣1）=
，
蚅螈荿肂芄蚈薁请下载支持！
羈膁节肆袈莂螄Cn=（n+1）=?2n﹣1．令Tn=C1+C2+…+Cn=2×21﹣1+3×22﹣1+4×23﹣1+…+（n+1）
?2n﹣1，…①，
虿莂蚄肇羀羄蒇2Tn=2×22﹣1+3×23﹣1+4×24﹣1+…+n?2n﹣1+（n+1）?2n，…②，
﹣（n+1）
薂蒆膇螂膄肅肇①﹣②可得：﹣Tn=2+21+22+23+…+2n﹣1﹣（n+1）?2n=2+
?2n=﹣n?2n．
芈莇芀芃袇芇蒁Tn=n?2n．
薇肁蒃莄蒇节螁故答案为：n?2n．
16．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（1+x）=f（1﹣x），
]时，f（ax）＜f（x﹣1）成立，则实
蕿蚃膆蚆袀膅螅②在[1，+∞）上为增函数；若x∈[数a的取值范围为 （0，2） ．
螃螄螆蚂莅薇蚆【解答】解：∵f（1+x）=f（1﹣x），∴f（x）的函数图象关于直线x=1
对称，
薆芀膀薅膅袆莁∵f（x）在[1，+∞）上为增函数， ∴f（x）在（﹣∞，1）上为减函数， ∵当x∈[
]时，f（ax）＜f（x﹣1）成立，
莀羁蚄羇芀膃羂蕿袄蒄蒀螀膂莇肄芆虿薂莂袅薀∴|ax﹣1|＜|1﹣（x﹣1）|在[，1]上恒成立， 即x﹣2＜ax﹣1＜2﹣x在[，1]上恒成立， ∴1﹣＜a＜﹣1在[，1]上恒成立． 设m（x）=1﹣，n（x）=﹣1，x∈[，1]，
m（x）的最大值为m（1）=0，n（x）的最小值为n（1）=2．
螄衿肀蒂蚇蝿莁罿袂蚁芅衿衿膄葿袁肆聿蚀莃蚅芅薄艿蒂薃蒇腿莆蒈羀螃羅莈芁∴0＜a＜2． 故答案为：（0，2）．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过
薈螂袃螇蒈蝿蒅荿肂芄蚈薁薄袄程或演算步骤.）
节肆袈莂螄蚅螈17．（12分）已知=（2sinωx，sinωx+cosωx），=（cosωx，（sinωx
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﹣cosωx）），0＜ω＜1函数f（x）=对称轴．
蚄肇羀羄蒇羈膁，直线x=是函数f（x）图象的一条
（I）求函数f（x）的解析式及单调递增区间； （Ⅱ）在△ABC中，已知f（A）=0，c=3，a=
，求b边长
膇螂膄肅肇虿莂芀芃袇芇蒁薂蒆【解答】解：（Ⅰ）已知=（2sinωx，sinωx+cosωx），=（cosωx，（sinωx
﹣cosωx）），0＜ω＜1
蒃莄蒇节螁芈莇函数f（x）==sin2ωx﹣=2sin（2ω﹣由于直线x=所以f（所以所以
cos2ωx ），
是函数f（x）图象的一条对称轴．
膆蚆袀膅螅薇肁螆蚂莅薇蚆蕿蚃膀薅膅袆莁螃螄蚄羇芀膃羂薆芀）=±2， ?ω﹣．
=k
，（k∈Z），
蒄蒀螀膂莇莀羁虿薂莂袅薀蕿袄肀蒂蚇蝿莁肄芆由于0＜ω＜1， 所以：当k=0时，ω= 所以f（x）=2sin（x﹣令：解得：
所以函数的单调递增区间为[（Ⅱ）由于f（A）=所以A﹣解得A=k
=kπ，
，
，
）．
（k∈Z）， （k∈Z），
]（k∈Z），
蚁芅衿衿膄螄衿肆聿蚀莃蚅罿袂艿蒂薃蒇腿葿袁羀螃羅莈芁芅薄袃螇蒈蝿蒅莆蒈芄蚈薁薄袄薈螂袈莂螄蚅螈荿肂羀羄蒇羈膁节肆膄肅肇虿莂蚄肇由于A∈（0，π）， 则A=
．
袇芇蒁薂蒆膇螂请下载支持！
蒇节螁芈莇芀芃在△ABC中，由余弦定理：所以：
即b2﹣3b﹣4=0， 解得b=4或﹣1（舍去）． 故：b=4．
，
，
袀膅螅薇肁蒃莄莅薇蚆蕿蚃膆蚆膅袆莁螃螄螆蚂芀膃羂薆芀膀薅螀膂莇莀羁蚄羇18．（12分）哈师大附中高三学年统计甲、乙两个班级一模数学分数，
每个班级20名同学，现有甲、乙两班本次考试数学分数如下列茎叶图所示：
莂袅薀蕿袄蒄蒀（I）根据茎叶图求甲、乙两班同学数学分数的中位数，并将乙班同学的
分数的频率分布直方图填充完整；
蚇蝿莁肄芆虿薂（Ⅱ）根据茎叶图比较在一模考试中，甲、乙两班同学数学分数的平均
水平和分数的分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）
衿衿膄螄衿肀蒂（Ⅲ）若规定分数在[100，120）的成绩为良好，分数在[120，150）的
成绩为优秀，现从甲、乙两班成绩为优秀的同学中，按照各班成绩为优秀的同学人数占两班总的优秀人数的比例分层抽样，共选出12位同学参加数学提优培训，求这12位同学中恰含甲、乙两班所有140分以上的同学的概率．
蚀莃蚅罿袂蚁芅【解答】解：（1）根据茎叶图得： 甲班数学分数的中位数：乙班数学分数的中位数：
=118， =128．
薃蒇腿葿袁肆聿羅莈芁芅薄艿蒂蒈蝿蒅莆蒈羀螃（2）乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平
均水平；
薁薄袄薈螂袃螇甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程
度．
螄蚅螈荿肂芄蚈（3）有频率分布直方图可知：
甲、乙两班数学成绩为优秀的人数分别为10、14，
若从中分层抽样选出12人，则应从甲、乙两班各选出5人、7人， 设“选出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同学”为事件A 则P（A）=
×
=
，
蒇羈膁节肆袈莂肇虿莂蚄肇羀羄蒁薂蒆膇螂膄肅螁芈莇芀芃袇芇请下载支持！
螅薇肁蒃莄蒇节所以选出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同学的概率为
．
蚆蕿蚃膆蚆袀膅19．（12分）已知等腰直角△S′AB，S′A=AB=4，S′A⊥AB，C，D分别为S′B，
，取线段SB的中点为
S′A的中点，将△S′CD沿CD折到△SCD的位置，SA=2E．
莁螃螄螆蚂莅薇（I）求证：CE∥平面SAD；
（Ⅱ）求二面角A﹣EC﹣B的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：取SA中点F，连接DF，EF， ∵SE=EB，SF=FA，∴EF∥AB，EF=又∵CD∥AB，CD=∴CD=EF，CD∥EF，
∴四边形CDEF为平行四边形，则CE∥FD． ∵CE?平面SAD，FD?平面SAD， ∴CE∥平面SAD；
（Ⅱ）解：∵面SCD⊥面ABCD，面SCD∩面ABCD=CD，SD⊥CD，SD?
，
，
羂薆芀膀薅膅袆莇莀羁蚄羇芀膃薀蕿袄蒄蒀螀膂莁肄芆虿薂莂袅膄螄衿肀蒂蚇蝿蚅罿袂蚁芅衿衿腿葿袁肆聿蚀莃芁芅薄艿蒂薃蒇蒅莆蒈羀螃羅莈面SCD，
袄薈螂袃螇蒈蝿∴SD⊥面ABCD， ∵AD，CD?面ABCD， ∴SD⊥AD，SD⊥CD．
又∵AD⊥DC，∴DA，DC，DS两两互相垂直，
如图所示，分别以DA，DC，DS为x，y，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz． 则A（2，0，0），C（0，2，0），S（0，0，2），B（2，4，0），E（1，2，
螈荿肂芄蚈薁薄膁节肆袈莂螄蚅莂蚄肇羀羄蒇羈蒆膇螂膄肅肇虿莇芀芃袇芇蒁薂1），
肁蒃莄蒇节螁芈，，，
蚃膆蚆袀膅螅薇设平面ECA，平面ECB的法向量分别为
，
，
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螄螆蚂莅薇蚆蕿则
，取y1=1，可得；
，取y2=﹣1，得
芀膀薅膅袆莁螃．
腿羂膄薇蒀膀螃∴cos＜＞=．
肁蚂蚇羈荿薅蚇∴二面角A﹣EC﹣B的平面角的余弦值为﹣． 20．（12分）已知椭圆C：
（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），
和2
．
蒃袇蝿蕿肂螇螆点P为椭圆C上的动点，若|PF|的最大值和最小值分别为2
肆芇虿袄羇薈芁（I）求椭圆C的方程
（Ⅱ）设不过原点的直线l与椭圆C交于P，Q两点，若直线OP，PQ，
聿衿蒂膆肆蒁肁OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的最大值
肈芄芆袈薁袃芆【解答】解：（I）由已知得：∴b2=4﹣3=1 椭圆方程为
+y2=1
，解得a=2，c=，
螁蒆虿螀蚅莆蚇蚆芇羀膂薆蒈蒂聿膀羄螅羆蚂薃（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，
故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2）， 由
，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，
芀薂袅螈袂膁袅莄肅薀羂羃羅薇芅膇膁螄膅莈葿则△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，即4k2﹣m2+1
＞0，
罿莁节莅袆虿袁且x1+x2=，x1x2=，
薁肄蒄蚈蝿蚃蒄故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2． ∵直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，
薂蚄蒀罿蒅薄蒇请下载支持！
袄肇莂羃螄艿蚀∴?==k2，
衿薂螄羄袆袀莃即
+m2=0，又m≠0，所以k2=，即k=±．
螂莂肃蚈肀羁羄由△＞0，及直线OP，OQ的斜率存在，得0＜m2＜2， ∵|PQ|=
?
==
≤1，当m2=1时取等号， =
，
膄薇蒀膀螃蒇莇蚇羈荿薅蚇腿羂点O到直线的距离d=S△OPQ=|PQ|?d=
蝿蕿肂螇螆肁蚂虿袄羇薈芁蒃袇此时直线l的方程为y=±x±1时，S△OPQ的最大值为1．
21．（12分）已知函数f（x）=（1﹣ax）ex+b在点（1，f（1））处的切
蒂膆肆蒁肁肆芇线方程是y=﹣ex+e﹣1．
芆袈薁袃芆聿衿（1）求a，b的值及函数f（x）的最大值； （2）若实数x，y满足xey=ex﹣1（x＞0）． （i）证明：0＜y＜x； （ii）若x＞2，证明：y＞1．
【解答】（1）由点（1，f（1））在切线上可知，f（1）=﹣e+e﹣1=﹣1，
虿螀蚅莆蚇肈芄羀膂薆蒈蒂螁蒆羄螅羆蚂薃蚆芇袅螈袂膁袅聿膀即切点为（1，﹣1）
薀羂羃羅薇芀薂又f'（x）=﹣aex+（1﹣ax）ex=ex（1﹣ax﹣a），由题可知f'（1）=﹣e，
则
膁螄膅莈葿莄肅f'（1）=e1（1﹣2a）=﹣e，则1﹣2a=﹣1，解得a=1，
节莅袆虿袁芅膇即f（x）=（1﹣x）ex+b，又由f（1）=﹣1，可得b=﹣1， 故a=1，b=﹣1；即f（x）=（1﹣x）ex﹣1； 由上知f'（x）=ex（1﹣x﹣1）=﹣xex，
当x＜0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，x＞0时，f'（x）＜0，f（x）
蒄蚈蝿蚃蒄罿莁蒀罿蒅薄蒇薁肄莂羃螄艿蚀薂蚄单调递减，
螄羄袆袀莃袄肇故．
，
肃蚈肀羁羄衿薂（2）由实数x，y满足xey=ex﹣1（x＞0）可得，
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蒀膀螃蒇莇螂莂即
（i）先证y＜x，
，
，
荿薅蚇腿羂膄薇肂螇螆肁蚂蚇羈由（1）知f（x）=（1﹣x）ex﹣1＜0=f（x）max， 则有
，即证得y＜x；
羇薈芁蒃袇蝿蕿肆蒁肁肆芇虿袄再证明y＞0，令g（x）=ex﹣x﹣1（x＞0），则g'（x）=ex﹣1＞0（x＞0）， 故函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，故g（x）＞g（0）=0， 故在（0，+∞）上恒有ex＞x+1，即则
，即y＞0，
，
薁袃芆聿衿蒂膆蚅莆蚇肈芄芆袈薆蒈蒂螁蒆虿螀羆蚂薃蚆芇羀膂综上，0＜y＜x，证毕． （ii）由（1）可知，令
，则
，
，
袂膁袅聿膀羄螅羃羅薇芀薂袅螈膅莈葿莄肅薀羂又由上可知，x＞0时，恒有（1﹣x）ex﹣1＜0，则xex﹣ex+1＞0恒成立， 故则有
薄蒇薁袆虿袁芅膇膁螄恒成立，即h（x）在（0，+∞）上单调递增， ，
肄蒄蚈蝿蚃蒄罿莁节莅蒅又
因为
螄艿蚀薂蚄蒀罿故h（2）＞e，则h（x）＞e，
即x＞2时，h（x）＞e，即ey＞e，即y＞1， 故x＞2时，y＞1；
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
袆袀莃袄肇莂羃肀羁羄衿薂螄羄螃蒇莇螂莂肃蚈记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
蚇腿羂膄薇蒀膀22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的非负半轴
为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ．
螆肁蚂蚇羈荿薅（I）若曲线C2，参数方程为：（α为参数），求曲线C1的
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直角坐标方程和曲线C2的普通方程
芁蒃袇蝿蕿肂螇（Ⅱ）若曲线C2，参数方程为 （t为参数），A（0，1），且的取值范围，
曲线C1，与曲线C2交点分别为P，Q，求
肁肆芇虿袄羇薈【解答】解：（I）∵曲线C 的极坐标方程为：ρ=2cosθ． ∴ρ2=2ρcosθ，x2+y2=2x． 曲线C2，参数方程为：
（α为参数），
芆聿衿蒂膆肆蒁蚇肈芄芆袈薁袃蒂螁蒆虿螀蚅莆∴曲线C2的普通方程：x2+（y﹣1）2=t2． （II）将C2的参数方程：
（α为参数），
薃蚆芇羀膂薆蒈袅聿膀羄螅羆蚂代入C1的方程得：t2+（2sinα﹣2cosα）t+1=0， ∵△=（2sinα﹣2cosα）2﹣4=8∴|∴
|∈∈
， ∪
，
﹣4＞0，
薇芀薂袅螈袂膁葿莄肅薀羂羃羅袁芅膇膁螄膅莈蒄罿莁节莅袆虿∴t1+t2=﹣（2sinα﹣2cosα），t1t2=1， ∴t1与t2同号， ∴|t1|+|t2|=|t1+t2|， 由的几何意义可得：=2∴
|
|∈（2，2∈（2，2
]．
=]，
+
=
=
蒇薁肄蒄蚈蝿蚃蚀薂蚄蒀罿蒅薄莃袄肇莂羃螄艿羄衿薂螄羄袆袀莇螂莂肃蚈肀羁羂膄薇蒀膀螃蒇[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|2x+b|+|2x﹣b|．
蚂蚇羈荿薅蚇腿袇蝿蕿肂螇螆肁（I）若b=1．解不等式f（x）＞4．
芇虿袄羇薈芁蒃（Ⅱ）若不等式f（a）＞|b+1|对任意的实数a恒成立，求b的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+b|+|2x﹣b|， b=1时，不等式f（x）＞4为|2x+b|+|2x﹣b|＞4，
衿蒂膆肆蒁肁肆芄芆袈薁袃芆聿请下载支持！
蒆虿螀蚅莆蚇肈它等价于或或，
芇羀膂薆蒈蒂螁解得x＞1或x＜﹣1或x∈?；
∴不等式f（x）＞4的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）． （Ⅱ）f（a）=|2a+b|+|2a﹣b|
=|2a+b|+|b﹣2a|≥|（2a+b）+（b﹣2a）|=|2b|，
当且仅当（2a+b）（b﹣2a）≥0时f（a）取得最小值为|2b|； 令|2b|＞|b+1|，得（2b）2＞（b+1）2， 解得b＜﹣或b＞1，
膀羄螅羆蚂薃蚆薂袅螈袂膁袅聿肅薀羂羃羅薇芀膇膁螄膅莈葿莄莁节莅袆虿袁芅肄蒄蚈蝿蚃蒄罿∴b的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）．
2024年东北三省三校(哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学)高考数学三模试卷(理科)
