专题五 解析几何
必考点一 圆锥曲线中的最值、范围问题
类型一 学会踩点
x2y2
[例1] (本题满分12分)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的
a2b2坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜
率为5.10
(1)求E的离心率e；
(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为
，求E的方程．
21?
解：(1)由题设条件知，点M的坐标为??3a，3b?，(1分)
??
72
又kOM＝
5b5b5
，从而＝，即＝，(2分)102a10a5
c25
.(4分)
a5
进而得a＝5b，c＝a2－b2＝2b，故e＝＝(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为
x
y
＋＝1，点N的坐标为5bb
1??5
?b，－b?.(6分)
2??2
7?
设点N关于直线AB的对称点S的坐标为??x1，2?，(7分)
??17??5x1
则线段NS的中点T的坐标为?b＋，－b＋?.(8分)
244??4
又点T在直线AB上，且kNS·kAB＝－1，
?
?5b
从而有?71
＋b22
?x1－5b＝?2
5x1b＋42
17
－b＋44＋＝1，
b
5，
解得b＝3.(11分)
所以a＝35，故椭圆E的方程为＋＝1.(12分)
评分细则：得分点及踩点说明
1 / 25
x245y29
(1)第(1)问中，无“c＝a2－b2”的关系者扣1分
(2)第(2)问中，无“AB直线方程”，直接得S点坐标，扣1分 (3)第(2)问中，无“关于x、b的方程组者”直接得b＝3者扣1分
(4)以上各得分点缺少者扣该点分
x2y2
1．(2016·高考全国甲卷)(本题满分12分)已知A是椭圆E：＋＝1的左顶点，斜率为
43
k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.
(1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积； (2)当2|AM|＝|AN|时，证明：3
由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.
又A(－2,0)，因此直线AM的方程为y＝x＋2. 将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0.
解得y＝0或y＝，所以y1＝.
因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝
11227
12144
.
749
127
127
x2y243
π4
(2)证明：将直线AM的方程y＝k(x＋2)(k>0) 代入＋＝1得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0.
由x1·(－2)＝
16k2－1223－4k2
得x1＝，
3＋4k23＋4k2
121＋k2
.
3＋4k21k
x24
y23
故|AM|＝|x1＋2|1＋k2＝
由题设，直线AN的方程为y＝－(x＋2)，
故同理可得|AN|＝ 由2|AM|＝|AN|得12k1＋k2
.
3k2＋4
2k
＝，3＋4k23k2＋4
即4k3－6k2＋3k－8＝0.
设f(t)＝4t－6t＋3t－8，则k是f(t)的零点．f′(t)＝12t－12t＋3＝3(2t－1)≥0，所以f(t)在(0，＋∞)单调递增．又f(3)＝153－26<0，f(2)＝6>0，因此f(t)在(0，
3
2
2
2
2 / 25
＋∞)有唯一的零点，且零点k在(3，2)内，所以3 类型二 学会审题 [例2] (2016·高考全国丙卷)已知抛物线C：y＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线 2 l1，l2分别交C于A，G两点，交C的准线于P，Q两点． (1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ； (2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程． 审题路线图 ?1??a2?[规范解答] 由题知F?，0?.设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，且A?，a?，?2??2? b2??1??1??1a＋b? B??2，b?，P?－2，a?，Q?－2，b?，R?－2，2?.???????? 记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0. (1)由于F在线段AB上，故1＋ab＝0. 记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则 k1＝ a－ba－b1ab ＝＝＝－＝－b＝k2.所以AR∥FQ.1＋a2a2－abaa12 12 12 |a－b| .2 (2)设l与x轴的交点为D(x1,0)，则S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a||x1－|，S△PQF＝ 由题设可得|b－a||x1－|＝ 12 |a－b| ，所以x1＝0(舍去)或x1＝1.2 设满足条件的AB的中点为E(x，y)． 当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得 2y＝(x≠1)．a＋bx－1 3 / 25 而 a＋b2 ＝y，所以y＝x－1(x≠1)．2 当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)满足方程y2＝x－1， 所以，所求轨迹方程为y2＝x－1. 2．已知抛物线C：y＝2x，直线l：y＝kx＋2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M2 作x轴的垂线交C于点N. (1)证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行； (2)是否存在实数k，使以AB为直径的圆M经过点N？若存在，求k的值；若不存在，说明 理由． 解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝kx＋2代入y＝2x2中，得2x2－kx－2＝0， ∴x1＋x2＝. ∵xN＝xM＝ x1＋x2k?kk2?＝，∴N点的坐标为?，?.24?48? k 4 k2 ∵(2x2)′＝4x，∴(2x2)′|x＝＝k， 即抛物线在点N处的切线的斜率为k. ∵直线l：y＝kx＋2的斜率为k，∴切线平行于AB. (2)假设存在实数k，使以AB为直径的圆M经过点N. ∵M是AB的中点，∴|MN|＝|AB|. 由(1)知yM＝(y1＋y2)＝(kx1＋2＋kx2＋2) 11k2?k2 ＝[k(x1＋x2)＋4]＝??＋4?＝4＋2， 22?2? 1 2 12 12 ∵MN⊥x轴，∴|MN|＝|yM－yN|＝＋2－＝ ∵|AB|＝1＋k2× x1＋x22－4x1x2＝1＋k2× k24k28k2＋16 .8 ?k?2－4×－1＝1 k2＋1?2?2?? ×k2＋16. ∴ k2＋161 ＝ k2＋1×k2＋16，∴k＝±2，84 ∴存在实数k＝±2，使以AB为直径的圆M经过点N. 类型三 学会规范 [例3] (2016·高考全国乙卷)(本题满分12分)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝ 4 / 25 t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于P点对称点为N，连接ON 并延长交C于点H. (1)求 |OH| ；|ON| (2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由． [考生不规范示例] t2??t2? 解：(1)M(0，t)，P??2p，t?∴N?p，t?是OH的中点． ???? ∴ |OH| ＝2.|ON| 2t2p? (2)由(1)知H??p，2t?∴MH方程为y－t＝2tx?? 联立方程组得 y2－4ty＋4t2＝0，方程只有一根y＝2t. 故MH与C只有一个交点为H. t2? [规范解答] (1)如图，由已知得M(0，t)，P??2p，t?. ?? 又N为M关于点P的对称点，故N? ?t2，t?，ON的方程为y＝px，代入y2＝2px，整理得px2 ?t?p? －2t2x＝0， 解得x1＝0，x2＝ 2t2?2t2?.因此H?，2t?.(4分) p?p? |OH| ＝2.(5分)|ON| 所以N为OH的中点，即 (2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．理由如下： p2t 直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t)．(10分) 2tp 代入y＝2px得y－4ty＋4t＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点．(12分) [终极提升]——登高博见 2 2 2 5 / 25
高考数学二轮复习第2部分专题五解析几何必考点文
