常微分方程期末考试题大全(东北师大)
证明题： 设f?x?在?0,???上连续，且limf?x??b，又a?0，求证：对于方程
x???dyb?ay?f?x?的一切解y?x?，均有limy?x??。
x???dxa证明 由一阶线性方程通解公式，方程的任一解可表示为 y?x??e即
?axx??at??C?ftedt??， ?0??y?x??C??f?t?eatdt0xeax。
由于limf(x)?b，则存在X，当x?X时，f(x)?M。因而
x???x
?0f(t)edt??f?t?edt?M?eatdt
atat0XXXx ??0f?t?eatdt?Max(e?eaX)， ax??axat由a?0，从而有lim?C??f?t?edt???，显然lime???。
x???x???0??应用洛比达法则得
x???limy?x??limC??f?t?eatdt0xx???eax
f?x?eax?lim x???aeax ?limx???f?x?b?。 aa证明题：线性齐次微分方程组x??A(t)x最多有n个线性无关的解，其中A(t)是定义在区间a?t?b上的n?n的连续矩阵函数。
证 要证明方程组x??A(t)x最多有n个线性无关的解，首先要证明它有n个线性无关的解，然后再证明任意n?1个解都线性相关。
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由于A(t)是定义在区间a?x?b上的n?n的连续矩阵函数，所以对任意给定的初始条件x(t0)?η，a?t0?b，方程组x??A(t)x存在唯一的解。分别取初始条件
?1??0??0??0??1??0?．．．xn(t0)???， x1(t0)???，x2(t0)???，
????????????????0??0??1?它们对应的解分别为x1(t),x2(t),?xn(t),且这n个解在t0时的朗斯基行列式为
W(t0)?1?0，则x1(t),x2(t),?xn(t)是n个线性无关的解。
任取方程组x??A(t)x的n?1个解x1(t),x2(t),?xn(t),xn?1(t)，?t?(a,b)，这
n?1个解都是n维向量，于是由线性代数有关理论知，它们线性相关。
这就证明了方程组x??A(t)x最多有n个线性无关的解。
d2xdx?a2(t)x?f(t) 证明题：如果已知二阶线性非齐次方程2?a1(t)dtdt对应齐次方程的基本解组为x1(t),x2(t)，证明其有一特解是
φ(t)??tt0x2(t)x1(s)?x1(t)x2(s)f(s)ds,其中a1(t),a2(t)及f(t)是区间Ｉ上的连续函数，
W[x1(s),x2(s)]W[x1(t),x2(t)]是x1(t),x2(t)的朗斯基行列式。
证 已知x1(t),x2(t)是对应齐次方程
d2xdx?a(t)?a2(t)x?0 12dtdt的基本解组，则齐次方程的通解为
C1x1(t)?C2x2(t)。
用常数变易法，求原方程的特解。
设 y?C1(t)x1(t)?C2(t)x2(t)是原方程的特解，则C1(t),C2(t)满足下列关系
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?解得
?(t)x1(t)?C2?(t)x2(t)?0?C1，
?(t)x1?(t)?C2?(t)x2?(t)?f(t)?C1C1?(t)?0 x2(t)?(t)f(t) x2x1(t) x2(t) ?(t) ?(t)x1x2x1(t) 0? (t) f(t)x1w(x1(t),x2(t))分
??f(t)x2(t)，
w(x1(t),x2(t))?(t)?C2积
?f(t)x1(t)，
w(x1(t),x2(t))得
C1(t)??tt0t?f(s)x2(s)f(s)x1(s)ds C2(t)? ?ds。
t0w(x(s),x(s))w(x1(s),x2(s))12原方程的一个特解为
y*?x1(t)?故 φ(t)?tt0t?f(s)x2(s)f(s)x1(s)ds?x2(t) ?ds
t0w(x1(s),x2(s))w(x1(s),x2(s))?tt0x1(s)x2(t)?x1(t)x2(s)f(s)ds是原方程的一个特解。
w(x1(s),x2(s))λt证明题：设x?eΓ?t?是常系数线性齐次方程组x??Ax……（1）的解，Γ?t?的分量都是次数?k的多项式，但至少有一个分量是t的k次多项式，证明向量组eΓ?t?，
λteλtΓ??t?，...，eλtΓ(k)?t?是方程组（1）的线性无关解组。
证： 设x?eΓ?t?是常系数线性齐次方程组
λtx??Ax （1）
的解，Γ?t?的分量都是次数?k的多项式，但至少有一个分量是t的k次多项式，证明向量组eΓ?t?，eΓ??t?，...，eΓλtλtλtλtλt(k)?t?，t?(??,??)是方程组（1）的线性无关的解组。
λt(k)证 先证明eΓ?t?，eΓ??t?，...，eΓλt?t?都是方程组（1）的解。
由于x?eΓ?t?方程组（1）的解，则有
λeλtΓ?t??eλtΓ??t??AeλtΓ?t?，
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