百度文库 - 让每个人平等地提升自我
利用换底公式推导下面的结论
1n①logab? ②logablogbclogcd?logad③logambn?logab
logbam
2.2.2 对数函数及其性质
【知识要点】
1、 对数函数的概念
函数y?logax (a>0，且a≠1) 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 【注意】
（1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：y?logax?1，y?logax?2 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
（2）对数函数对底数的限制：a>0，且a≠1
2、对数函数的图像与性质
对数函数y?logax(a>0，且a≠1)
图像 0 ＜ a ＜ 1 y a ＞ 1 y 0 (1,0) x 0 (1,0) x 定义域：（0，＋∞） 值域：R
过点(1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0
性质 在(0,+∞)上是减函数 在(0,+∞)上是增函数 当x>1时，y<0 当x=1时，y=0 当0 在logb中，当a ,b 同在(0,1) 或(1,+∞)内时，有logb>0; aa 当a,b不同在(0,1) 内，或不同在(1,+∞) 内时,有logb<0. a 【口诀】底真同大于0（底真不同小于0）. （其中，底指底数，真指真数，大于0指logb的值） a 3、如图，底数 a对函数y?logax 的影响. 规律：底大枝头低, 头低尾巴翘 4考点 Ⅰ、logab, 当a,b在1的同侧时, logab >0；当a,b在1的异 11 百度文库 - 让每个人平等地提升自我 侧时, logab <0 Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较对数的大小，同底找对应的对数函数，底数不同真数也不同利用（1）的知识不能解决的插进1(=logaa)进行传递. Ⅲ、求指数型函数的定义域要求真数>0，值域求法用单调性. Ⅳ、分辨不同底的对数函数图象利用1=logaa ，用y=1去截图象得到对应的底数。 Ⅴ、y=ax(a>0且a ≠1) 与y=logax(a>0且a ≠1) 互为反函数，图象关于y=x对称。 5 比较两个幂的形式的数大小的方法 (1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断. (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断. (3)对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用1和0. 6 比较大小的方法 (1)利用函数单调性(同底数)；(2)利用中间值（如:0,1.）；(3)变形后比较；(4)作差比较 2.3幂函数 【知识要点】 1、幂函数定义 一般地，形如y?x?的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数． 2、幂函数性质归纳 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点 （1，1）； （2）α>0 时，幂函数的图象通过原点，并且在[0,+ ∞）上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； （3）α<0 时，幂函数的图象在（0，+∞）上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼 近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴． 12 百度文库 - 让每个人平等地提升自我 第三章 函数的应用 3.1函数与方程 3.1方程的根与函数的零点 【知识要点】 1、函数零点的概念 对于函数y=f(x),使f(x)=0 的实数x叫做函数的零点.（实质上是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标） 2、函数零点的意义 方程f(x)=0 有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点. 3、零点定理 函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间（a,b）至少有一个零点c，使得f( c)=0,此时c也是方程 f(x)=0 的根. 4、函数零点的求法 求函数y=f(x)的零点： （1）（代数法）求方程f(x)=0 的实数根； （2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 5、二次函数的零点 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0). （1）△＞0，方程f(x)=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点． （2）△＝0，方程f(x)=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． （3）△＜0，方程f(x)=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点． 3.1.2用二分法求方程的近似解 【知识要点】 1、概念 对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 2、用二分法求方程近似解的步骤 ⑴确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε； ⑵求区间(a,b)的中点c; ⑶计算f(c), ①若f(c)=0,则c就是函数的零点； 13 百度文库 - 让每个人平等地提升自我 ②若f(a)f(c)<0,则令b=c（此时零点x0∈(a,c)） ③若f(c)f(b)<0,则令a=c（此时零点x0∈(c,b)） (4)判断是否达到精确度ε：即若|a-b|<ε,则得到零点近似值为a(或b);否则重复⑵~⑷ 3.2几类不同增长的函数模型 【知识要点】 1、评价模型 给定模型利用学过的知识解模型验证是否符合实际情况 2、几个增长函数模型 一次函数：y=ax+b(a>0) 指数函数：y=ax(a>1) 指数型函数： y=kax(k>0,a>1) 幂函数： y=xn（ n?N*) 对数函数：y=logax(a>1) 二次函数：y=ax2+bx+c(a>0) 增长快慢：V(ax)>V(xn)>V(logax) 解不等式 (1) log2x< 2x < x2 (2) log2x< x2 < 2x 3、分段函数的应用 注意端点不能重复取，求函数值先判断自变量所在的区间. 4、二次函数模型 y=ax2+bx+c(a≠0) 先求函数的定义域，在求函数的对称轴，看它在不在定义域内，在的话代进求出最值，不在的话，将定义域内离对称轴最近的点代进求最值. 5、一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布 两个根都在（m,n )内 y 两个有且仅有一个在（m,n)x1∈(m,n) x2∈(p,q) 内 m m x n ???0?b??n?m??2a??f(m)?0???f(n)?0 n m f(m)f(n)<0 n p q ?f(m)?0?f(n)?0???f(p)?0??f(q)?014 百度文库 - 让每个人平等地提升自我 两个根都小于K 两个根都大于K 一个根小于K，一个根大于K y k k x k ???0?b???k??2a??f(k)?0???0?b???k??2a??f(k)?0f(k)<0 【重点】将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含 15
人教版高中数学必修一知识点与重难点
