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人教版高中数学必修一
————各章节知识点与重难点
第一章 集合与函数概念
1.1 集合
1.1.1集合的含义与表示
【知识要点】 1、集合的含义
一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。
2、集合的中元素的三个特性
(1)元素的确定性; (2)元素的互异性; (3)元素的无序性
2、“属于”的概念
我们通常用大写的拉丁字母A,B,C, ……表示集合,用小写拉丁字母a,b,c, ……表示元素 如:如果a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作 a∈A,如果a不属于集合A 记作 a?A
3、常用数集及其记法
非负整数集(即自然数集)记作:N;正整数集记作:N*或 N+ ;整数集记作:Z;有理数集记作:Q;实数集记作:R
4、集合的表示法
(1)列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 (2)描述法:用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。
①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2} (3)图示法(Venn图)
1.1.2 集合间的基本关系
【知识要点】 1、“包含”关系——子集
一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A?B
2、“相等”关系
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B?A?B且B?A
3、真子集
如果A?B,且A?B那就说集合A是集合B的真子集,记作A?B(或B?A)
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4、空集
不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集.
1.1.3 集合的基本运算
【知识要点】 1、交集的定义
一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A∩B(读作“A交B”),即A∩B={x| x∈A,且x∈B}.
2、并集的定义
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。记作:A∪B(读作“A并B”),即A∪B={x | x∈A,或x∈B}.
3、交集与并集的性质
A∩A = A,A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A,A∪φ= A , A∪B = B∪A.
4、全集与补集
(1)全集
如果集合U含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。
(2)补集
设U是一个集合,A是U的一个子集(即A?U),由U中所有不属于A的元素组成的集合,叫做U中子集A的补集(或余集)。记作: CUA ,即 CSA ={x | x?U且 x?A} (3)性质
CU(C UA)=A,(C UA)∩A=Φ,(C UA)∪A=U;
(C UA)∩(C UB)=C U(A∪B),(C UA)∪(C UB)=C U(A∩B).
1.2 函数及其表示 1.2.1函数的概念
【知识要点】
1、函数的概念
设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.
其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.
【注意】
(1)如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;
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(2)函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 【定义域补充】
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是 (1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底数必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域.)
2、构成函数的三要素
定义域、对应关系和值域
【注意】
(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)。
(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。
3、相同函数的判断方法
(1)定义域一致;
(2)表达式相同 (两点必须同时具备) 【值域补充】
(1)函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.
(2)应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。
4、区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间;
(3)区间的数轴表示.
1.2.2函数的表示法
【知识要点】
1、常用的函数表示法及各自的优点
(1)函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据:作垂直于x轴的直线与曲线最多有一个交点。
(2)函数的表示法
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