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2024年全国硕士研究生招生考试初试自命题试题 科目名称：高等代数（√A卷□B卷）科目代码：614 考试时间： 3 小时 满分 150 分 可使用的常用工具：□无 □计算器 □√直尺 □√圆规（请在使用工具前打√） 注意：所有答题内容必须写在答题纸上，写在试题或草稿纸上的一律无效；考完后试题随答题纸交回。 一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分) 1、设A,B 均是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（ ）。 （A）AT与BT相似 （B）A?1与B?1相似 （C）A?AT与B?BT相似 （D）A?A?1与B?B?1相似 ?111?2、设矩阵A???12a??1?，b??d?，集合???1,2?，则线性方程组Ax?b有??14a2???????d2??无穷多解的充分必要条件是 （ ）。 (A) a??,d?? (B) a??,d?? (C) a??,d?? (D) a??,d?? 3、二次型f?x221,x2,x3?在正交变换X?PY 下的标准形为2y21?y2?y3，其中P?(e1,e2,e3)，若Q?(e1,?e3,e2)，则f?x1,x2,x3?在变换X?QY下的标准形是（ ）。 (A) 2y22?2(B) 2y221?y2y3 ?y23 (C) 2y221?y21?y2?y2 (D) 2y22231?y2?y3 4、所有4阶对称矩阵按矩阵的加法和数乘所组成的线性空间V的维数是 （ ）。 （A） 4维 （B） 16维 （C） 8维 （D） 10维 5、设?1，?2，?3均为3维向量，则对任意常数k，l，向量组?1＋k?3，?2＋l?3线性无关是向量组?1，?2，?3线性无关的（ ）。 （A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件 6、设A是3阶方阵, 将A的第1列与第2列交换得B, 再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ?C的可逆矩阵Q为（ ）。 第 1 页 共 7 页
?010??010??010??011????????? （A）?100? （B）?101? （C）?100? （D）?100?
?101??001??011??001????????? 7、设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为?1,?2，则?1，A(?1??2)线性无关的充分必要条件是（ ）。 (A) ?1?0 (B) ?2?0 (C) ?1?0 (D) ?2?0 8、设A为n(n?2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, A*,B*分别为A,B的伴随矩阵，则 （ ）。 (A)交换A的第1列与第2列得B (B)交换A的第1行与第2行得B (C)交换A的第1列与第2列得?B (D)交换A的第1行与第2行得?B ********二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分) ??100??11、行列式00?43200?____________。 ?1??1?a?1?1??110????? 2、设矩阵??1a?1?与?0?11?等价，则a?____________。 ??1?1a??101????? 3、设?1,?2,?3均为3维列向量，记矩阵A?(?1,?2,?3)，B?(?1??2??3,?1?2?2?4?3,?1?3?2?9?3)，若A?1，则B?_____。 ?0?04、若矩阵A???0??0100??010?4，则A的秩为 ____________。 001??000??1?11??，则?11?15、 设?为3维列向量，?T是?的转置. 若??T??????1?11???T?=______。 第 2 页 共 7 页
?21? 6、设矩阵A???，E为2阶单位矩阵，若矩阵B满足BA?B?2E，则
??12?B?____________。 三、计算题(45分) ?0?11???1、（15 分）已知矩阵A??2?30?, ?000???（1）求A；（2）设3阶矩阵B?(?1,?2,?3)，满足B?BA，记B将?1,?2,?3分别由?1,?2,?3线性表出。 992100?(?1,?2,?3)，11?a??1?0?????0a?,???1?，且方程组Ax??无解， 2、（15分）设矩阵A??1 ?a?11a?1??2a?2?????（1）求a的值； （2）求方程组AAx?A?的通解。 TT3、（15分）设向量组?1,?2,?3内R3的一个基，?1?2?1?2k?3，?2?2?2，?3??1?(k?1)?3， （1）证明向量组?1?2?3为R3的一个基；（2）当k为何值时，存在非0向量?在基?1,?2,?3与基?1?2?3下的坐标相同，并求?。 四、证明题(35分) ?1??1 1、（15分） 证明n阶矩阵?...??1?11...1...............1??0??1??0与??......???1???0............00...01??2?相似。 ?...?n??2、（10分）如果(f(x),g(x))?1，那么(f(x)g(x),f(x)?g(x))?1。 3、（10分） ?是线性空间V上的可逆线性变换，则?的特征值一定不为0。 第 3 页 共 7 页
参考答案 一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分) 1、C 2、D 3、A 4、D 5、A 6、D 7、B 8、A 二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分) 1、?4??3?2?2?3??4 2、2. 3、2 4、0 5、 3 6、2 三、计算题(45分) 1、解： （1）利用相似对角化。 ?0????1由?E?A?0，可得A的特征值为?1?0,?2??1,?3??2，故A~????. ??2????3???当?1?0时，由(0E?A)x?0，取A的属于特征值?1?0的特征向量为?1??2?; ?2????1???当?2??1时，由(?E?A)x?0，取A的属于特征值?2??1的特征向量为?2??1?; ?0????1???当?3??2时，由(?2E?A)x?0，取A的属于特征值?3??2的特征向量为?3??2?.
?0???（3分） ?311??0??????1?1?1设P?(?1,?2,?3)??212?，由PAP????可得，A?P?P??200???2????? A99?P?99P?1， （4分）1??00??311?2??????1对于P??212?，有P??2?1?2?，故 ?200??1?????11?2??第 4 页 共 7 页
1??00?311??0??2???????A99?P?99P?1??212???12?1?2????200?????299???????111?2????2?2991?299????2?21001?2100?00?2 2?298??2?299? （3分） 0??322100（2）B?BA?B?BBA?BA?BAA?BA?L?B?BA99，由于B?(?1,?2,?3)，B100?(?1,?2,?3)， ??2?2991?299?991001?2100故(?1,?2,?3)?(?1,?2,?3)A?(?1,?2,?3)??2?2?00?因此， 2?298??2?299?， 0???1?(?2?299)?1?(?2?2100)?2,?2?(1?299)?1?(1?2100)?2,?3?(2?298)?1?(2?299)?2. （5分） 2、解： （1）由方程组Ax??无解，可知r(A)?r(A,?)，故这里有A?0，1A?111?a0a?0?a?0或a?2。 （4分） a?11a?1由于当a?0时，r(A)?r(A,?)，而当a?2时，r(A)?r(A,?)。综上，故a?0符合题目。 （4分） ?322???1???T??T（2）当a?0时，AA??222?,A????2?，故 ?222???2??????322?1??1001?????(ATA,AT?)??222 ?2???011 ?2?， （4分） ?222?2??0000??????0??1?????TT因此，方程组AAx?A?的通解为x?k??1????2?,其中k为任意实数。（3分） ?1??0?????第 5 页 共 7 页
2024年武汉科技大学硕士研究生招生考试自命题试题-614高等代数_真题及答案
