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教学内容：极限经点答疑（二）
例2 用定义证明lim规范证法 设f?x??1?0. x??x111???,只要,对于任意给定的ε>0，要使|f?x??0|?x|x|x|x|?11就可以了．因此，对于任意给定的ε>0，取M?,则当|x|>M时，
??11?0??恒成立，所以lim?0.
x???xx|f?x??0|?有时，我们还需要区分x趋于无穷大的符号．如果x从某一时刻起，往后总是取正值而
且无限增大．则称x趋于正无穷大，记作x→+∞，此时定义中，|x|>M可改写为x>M，如果x从某一时刻起，往后总取负值且|x|无限增大，则称x趋于负无穷大，记作x→-∞，此时定义中的|x|>M可改写成x<-M．
?1?例3 (1)lim???0,(2)lim2x?0
x???2x?????x
x?1?下面证明(1)lim???0.
x????2??1?思路启迪 根据定义，要证lim???0,即证对于任意给定的ε>0，总存在M>O，使
x????2?x
?1?当x>M时，???0??即可．
?2?x?1?规范证法 设f?x????.对任意给定的ε>0，要使
?2?11?1??1?|f?x??0|????0?????，只要2x?，即x??设???1?就可以了．因
1g2??2??2?xxx1g1?设???1?,则当x>M时，|f?x??0|?此，对于任意给定的1>ε>0，取M?1g21g?1?恒成立，所以lim???0.
x????2?x?1????0???2?x同理可以证明lim2x?0
x???当x→∞时，f(x)以A为极限的几何意义是：对于任意给定的正数ε(无论多么小)，在坐标平面上作两平行直线y=A-ε与y=A+ε，两直线之间形成一个带形区域．不论ε多么小，即不论带形区域多么狭窄，总可以找到M>0，当点(x，f(x))的横坐标x进入区间(-∞，-M)U(M，+∞)时，纵坐标f(x)全部落入区间(A-ε,A+ε)内．此时y=f(x)的图形处于带形区域内．ε越小，则带形区域越狭窄，如图2—7所示．
8．什么是函数左极限与右极限?
前面讲了x?x0时函数f(x)的极限，在那里x是以任意方式趋于x0的．但是，有时我们还需要知道x仅从x0的左侧?x?x0?或仅从x0的右侧?x?x0?趋于x0时，f(x)的变化趋势．于是，就要引进左极限与右极限的概念．
?1例如，函数f?x????xx?0x?0，图形见图2-8．
容易观察出，当x从0的左侧趋于0时,f(x)趋于1；而当x从0的右侧趋于0时，f(x)趋于0．我们分别称它是x趋于0时的左极限与右极限．
再考察y?极限．对y?x当x趋于0时的极限．由于函数的定义域为[0，+∞)因此只能考察其右
?x,由于其定义域为(-∞，0]，因此，当x趋于0时，只能考察其左极限．
定义：如果当x从x0的左侧?x?x0?趋于x0时，f(x)以A为极限，即对于任意给定的ε>0，总存在一个正数δ，使0?x0?x??时，|f?x??A|??恒成立，则称A为x?x0f?x??A或f?x0?0??A.如果当x从x0的右侧?x?x0?趋于时f(x)的左极限.记作lim?x?x0x0时，f(x)以A为极限，即对于任意给定的ε>0，总存在—个正数δ，使当0?x?x0??f?x??A或时，|f(x)-A|<ε恒成立，则称A为x?x0时f(x)的右极限，记作lim?x?x0f?x0?0??A.
根据左、右极限的定义，显然可以得到下列定理．
定理：limf?x??成立的充分必要条件是limf?x??limf?x??A. ??x?x0x?x0x?x0
例1 设f?x????2?2xx?0 ,研究当x?0时，f?x?的极限是否存在.x?0思路启迪 要看当x→0时，f(x)的极限是否存在，就应先求出x→0时f(x)的左、右极限，并看f(x)的左、右极限是否相等．若相等，则极限存在；反之，则极限不存在．
f?x??lim2?2；而当x≥0时，limf?x??lim2x?0．左、规范解法 当x<0时，lim????x?0x?0x?0x?0右极限都存在，但不相等．所以，由上面的定理可知，limf?x?不存在．
x?0
例2 研究当x→0时，f(x)=|x|的极限．
思路启迪 因为f(x)=|x|，所以应对f(x)分情况讨论，得到f(x)为一个分段函数，再按照例1的方法讨论f(x)的极限．
规范解法 f?x??|x|????xx?0,已知lim?f?x??lim?x?0，可以证明，x?0x?0x?0?xx?0??x??0，所以，由上面的定理得lim|x|?0. limf?x??lim??x?0x?0
9．怎样计算函数的极限?
要计算函数的极限，需知道函数极限的运算法则，它们的证明完全和数列的情形相仿． 函数极限的四则运算法则：
如果limf?x??a,limg?x??b,那么lim?f?x??g?x???a?b,lim?f?x??g?x??
x?x0x?x0x?x0x?x0?a?b，limf?x?a??b?0?．这些法则对于x→∞时的情况仍然成立．由以上法则易得
x?x0g?x?bnx?x0lim?Cf?x???Climf?x?(C是常数)，lim?f?x??x?x0x?x0?(n是正整数)．利用这些法????limfx???x?x0?n则求下面几个函数的极限．
例1 求lim3x?2x?1.
x?1?2?思路启迪 由于该极限中的每一项都存在极限，所以可以用极限四则运算法则中和式的极限等于极限的和来计算．
规范解法 lim3x?2x?1
x?1?2??lim3x2?lim2x?lim1x?1x?1?3limx2?2limx?1x?1x?1
?3(limx)2?2?1x?1?3?2?1?2.点评 若极限式各项中，有一项或几项的极限不存在，就不能直接利用函数极限的四则运算法则来做．
2x2?x?5. 例2 求limx?23x?1思路启迪 与例1类似． 规范解法 因为lim2x2?x?5
x?2???2(limx)2?limx?lim5x?2x?2x?2
?2?2?2?5?5,2lim?3x?1??3limx?lim1?3?2?1?7?0,
x?2x?2x?2
2x2?x?5所以：limx?23x?1lim2x2?x?55 ?x?2?.lim?3x?1?7??x?2点评 由例1,例2可以看出:若f(x)为多项式函数或当x?x0时分母极限不为0的分式函数,根据极限运算法则可以得出limf?x??f?x0?.
x?x0
2x3?1. 例3 求lim2x??8x?7x思路启迪 将分子分母同除以x3,使分子分母的极限存在． 规范解法 将分子分母同除以x3,得
132x?1xlim?lim??
x??8x2?7xx??87?xx2
32?例4 求limx?4x?2. x?4思路启迪 将分子有理化,使分子分母极限存在．
规范解法x?2x?2x?2x?4?lim?limx?4x?4x?4?x?4?x?2x?4?x?4?x?2
11 ?lim?.x?4x?24lim????????
?x?1?例5 已知f?x???x2?3x?1??x3?1求limf?x?,limf?x?,limf?x?.
x?0x???x???x?0,x?0.
思路启迪 要求limf?x?,应先看其左,右极限,比较两极限是否相同,若相同,则极限为
x?0其左,右极限值,若不相同,则极限不存在．
北大附中高考数学专题复习极限经点答疑(二)
