秋专升本高等数学电子教案

由天下分享时间：2024/12/23 22:57:29 加入收藏我要投稿点赞

资料仅供参考

第三章导数的应用

第一节微分中值定理和洛必达法则

一、Rolle定理和Lagrange 中值定理

1、两个定理的内容（条件+结论）须记忆，同时了解两个定理的几何意义。 2、Rolle定理的应用

（1）证明方程根的存在性：Rolle定理的结论为：函数f(x)在内至少存在（a,b）一个?，使得f?(?)?0。也就是说方程f?(x)?0在内至少存在一个根?。（a,b）b?，验（2）证明等式：根据待证等式构造辅助函数F(x)，确定一个闭区间?a，b?上满足Rolle定理的三个条件，证F(x)在闭区间?a，从而根据定理结论得

证。

（3）构造辅助函数F(x)的方法（从欲证问题的结论入手，逆向分析）：

①经过移项使得待证等式右边为0，等式左边即为F(x)

资料仅供参考

②经过移项使得待证等式右边为0，等式左边为F?(x)或者F?(x)的一部分，再由F?(x)推断出F(x)的表示式。

3、Lagrange定理的应用：证明等式或者不等式

（1）证明关键：选准满足定理条件的f(x)和所讨论的区间。

（2）证明（不）等式，可先分析待证（不）等式：使得待证（不）等式一边转化为f?(?)，另一边转化为

f(b)?f(a)

b?a二、洛比达法则（见第一章第二节）

例题精讲

1、P104例1、例3 2、P78例题2、P78例题3 3、P80历年例题2

b?上连续，4、设函数f(x)和g(x)在?a，在内可导，且f(a)?g(a)?0，（a,b）g(x)?0。

试证：至少存在一点??，使得f?(?)g(?)?g?(?)f(?)。（a,b）5、设常数a0,a1,??,an满足式子：a0?a1a????n?0。 2n?1求证：方程a0?a1x?a2x2????anxn?0在内至少有一个实根。（0,1）b?上连续，在6、设函数f(x)在?a，内可导，试证：至少存在一点??，（a,b）（a,b）使得

bf(b)?af(a)?f(?)??f?(?)。

b?a7、求证：当x?0时，x?arctanx 8、求证：sinx2?sinx1?x2?x1 9、求证：当x?0时， x?ln(1?x)?x 1?x10、证明：二次函数y?px2?qx?r在区间[a,b]上应用拉格朗日中值定理时，所求的?点总是区间的中点，即??(a?b)。

12资料仅供参考

11、设函数f(x)与g(x)在(??,??)内可导，并对任何x恒有f?(x)?g?(x)，且 f(a)?g(a)。证明：（1）当x?a时，f(x)?g(x)；（2）当x?a时，f(x)?g(x)。

第二节导数在研究函数上的应用

一、函数单调性和极值 1、函数单调性的判定方法 2、几个点

（1）驻点：使f?(x)?0的x的值称为函数f(x)的驻点。

（2）不可导点：f?(x)不存在的x的值称为函数f(x)的不可导点。。（3）极值点：设点x0是函数f(x)的极值点，则有f?(x)?0或者f?(x)不存在。 3、极值和最值的区别：①局部和整体；②个数；③大小关系。 4、求函数极值和第一充分条件和第二充分条件。 5、求函数f(x)的单调区间和极值的一般步骤： ①求出函数f(x)的定义区间。

②求出f?(x)，进而求出函数f(x)在定义区间内全部驻点和不可导点。 ③全部驻点和不可导点将定义区间分成若干子区间。经过列表分析，利用函

资料仅供参考

数单调性判别法判定每个子区间的单调性，利用极值的第一充分条件判定每个驻点和不可导点是否为极值点，如果是极值点，求出极值（极值点的函数值）。

④如果利用极值的第二充分条件求函数极值，请注意该方法的局限性：只适用于二阶导数存在的驻点，不适用于不可导点。 6、利用函数的单调性证明不等式

二、函数的最值

b?上的最值的方法 1、求函数f(x)在?a，b?上一定有最大值和最小值，且最值只能在(a，（1）连续函数f(x)在?a，b)内

的驻点和不可导点或区间端点处达到，因此只须求出这些点的函数值比较大小，即可求出最值。

b?上单调增加（减少），则最值必在区间端点处（2）如果连续函数f(x)在?a，达到。

（3）如果连续函数f(x)在区间I上有唯一驻点或不可导点x0，则当f(x0)是f(x)的极大（小）值时，f(x0)也是f(x)在区间I上的最大（小）值。 2、简单应用题的最值问题

由实际问题本身的性质能够断定目标函数确有最大（小）值，且一定在区间内部达到，又在区间内部目标函数仅有一个驻点x0，则在x0处目标函数一定取最大（小）值。

三、曲线的凹凸性和拐点 1、曲线凹凸性和拐点的定义。

拐点：连续曲线上凹弧和凸弧的分界点，拐点须用坐标表示。