资料仅供参考
?1?x，20、设函数f(x)???a(x?1)?b，x?0x?0 在点x?0处可导，求a，b。
?ex，21、设函数f(x)???a?bx，x?0 x?0 （1）为使函数f(x)在点x?0处可导，a，b应取何值？ （2）写出函数f(x)在点x?0处的切线方程和法线方程。
x2?3的两点，作过这两点的割线，问过22、在抛物线y?x2上取横坐标为x1?1，抛物线上哪一点的切线平行于这条割线，写出这条切线的方程。
23、设a?0，已知曲线y?ax2和曲线y?lnx在点M处相切，试求常数a与点M的
坐标。
24、证明：双曲线xy?a2上任一点处的切线与坐标轴构成的三角形的面积都等于
2a2。
25、设f(x)满足：f(x?1)?2f(x)，且f?(0)?2，求f?(1)。
第二、三、四节 导数的运算法则
一、基本初等函数的求导公式（16个） 二、导数的四则运算法则
1、函数和、差、积的求导法则都可推广到有限个函数的情形。 2、求y?x3?x?2?x或y?3x2(x3?2x2?x?1)的导数，可先将原式化为几个函数的
和，再利用函数和、差的求导法则求导。 三、复合函数的求导法则
熟练运用复合函数的求导法则求导数，关键在于熟练掌握复合函数的分解。 四、隐函数求导法和由参数方程所确定的函数求导法，掌握对数求导法。
资料仅供参考
1、隐函数求导法：求由二元方程F(x，y)?0确定的函数y?y(x)的导数y?，首先
在方程两边对x求导，遇到y时将其作为中间变量，利用复合函数的求导法则，得到含有y?的等式，解出y?即可。
?x??(t)dy??(t)2、由参数方程?确定的函数y?y(x)的导数?。
?dx?(t)y??(t)?五、对数求导法：
1、对数求导法就是在y?f(x)的两边同时取对数，然后用隐函数求导法求导的方
法。主要解决:①幂指函数（形如[f(x)]g(x)的函数）；②一系列函数的乘、除、乘方、开方所构成的函数（例如：y?x(x?1)2sin2x3x?2x?3tan(x?1)）的求导问题。
2、幂指函数y?[f(x)]g(x)的求导，也能够先将函数变形为y?[f(x)]g(x)?eg(x)lnf(x)，
再利用复合函数求导法则求出其导数y?。 四、高阶导数
1、高阶导数的概念：二阶以及二阶以上的导数称为高阶导数。
2、若函数y?f(x)的n阶导数f(n)(x)存在，则称函数y?f(x)n阶可导，此时意味
f??(x)，?，f(n?1)(x)都存在。 着f?(x)，3、高阶导数的记号 一阶导数：y?，f?(x)，
dydf(x)， dxdxd2yd2f(x)二阶导数：y??，f??(x)，2， 2dxdxd3yd3f(x)三阶导数：y???，f???(x)，3，
dxdx3n阶导数（当n?4时）：y(n)，f(n)dnf(x)dny(x)，n， ndxdx4、求n阶导数y(n)的方法：先求出y?、y??、y???、y(4)，根据前面几阶导数的表示式归纳出y(n)。
资料仅供参考
例题精讲
一、填空题
1、设y?arctanx-1dy,则?______（历年真题）
dxx?12、设y?xarctanx,则y???______（历年真题） 3、设y?f(x)是由方程x2?y2?1确定的隐函数，则4、设y?ln(1?2x),则y(n)?______
5、设方程y?1?xey确定了y是x的隐函数，则dy?______ 6、设方程xy?yx确定了y是x的隐函数，则
dy?______ dxdy?______（历年真题） dx7、设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?100)，则f?(0)?______ 二、解答题
8、求下列函数的导数 （1）y?x?lnx （2）y?ln(ln2x) （3）y?arcsinlncosx x?lnx（4）y?xxxxx （5）y?x?x?x （6）y?(sinx)x
1?2（7）y???1?? （8）y?(x?1)3(x?1)(x?2)
x??x9、求下列函数的n阶导数 （1）y?sin2x （2）y?10、求下列隐函数的导数
（1）y?tan(x?y) （2）?cosx?y?(siny)x （3）ysinx?cos(x?y)?0 11、设y?f(x)可导，试求：?f3(x)?和?f(x3)? 12、设y??1?x?x1sinx1 （3）y?xe2x 2x-5x?6??，求y?()
2ab?dya??b??x?13、设y????????，试求则
dx?b??x??a?资料仅供参考
14、求曲线x3?y3?xy?7上的点(1,2)处的切线方程和法线方程。 15、设y?f(x)可导，且f?(0)?1，又y?f(x2?sin2x)?f(arctanx)，求
dydxx?0
第五节 微分
一、理解微分的概念
1、微分的实际意义：设函数y?f(x)，当自变量x从x0变化到x0??x时，相应的函数的增量?y?f(x0??x)?f(x0)。y?f(x)在点x0处的微分dyx?x?f?(x0)?x描述0的是：当?x很小时（?x?0），?y近似改变了多少，即： ?y?dyx?x（?x?0）
02、设函数y?f(x)在(a，b)内可微，则y?f(x)的微分为 dy?f?(x)?x；
因为dx??x，因此有，dy?f?(x)dx，dyx?x?f?(x0)dx。
03、f(x)在点x0处可微?f(x)在点x0处可导。 二、微分的运算法则
1、微分的基本运算式：设函数y?f(x)，则dy?f?(x)dx，dyx?x?f?(x0)dx。
02、基本初等函数的微分公式（16个）和微分的四则运算法则 注：要注意基本公式和四则运算法则的逆运算（右边=左边） 3、复合函数的微分法则：
设y?f(u)，u??(x)，则复合函数y?f[?(x)]的微分为dy?f?[?(x)]???(x)dx， 注：一阶微分形式的不变性：
由于 f?[?(x)]?f?(u)，??(x)dx?du，因此dy?f?(u)du
由此可见，无论u是自变量还是另一变量的可微函数，微分形式dy?f?(u)du始终保持不变。
资料仅供参考
三、微分在近似计算中的应用。 1、如果f(x)在点x0处可微，那么
（1）求函数改变了多少：?y?f?(x0)?x (?x很小)
（2）求函数改变到多少：f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x (?x很小) 2、如果f(x)在点x?0处可微，那么f(x)?f(0)?f?(0)x (x很小)
当x很小时, n1?x?1?1nx，sinx?x，tanx?x， ln(1?x)?x，几个公式类似于等价无穷小）
例题精讲
一、填空题
1、设y?exsinx则dy?______dex?_______dsinx 2、设y?sin2x4,则dy?______dx2?______dx
3、设y?f(sinx)，f(u)可微，则dy?______（历年真题） 4、设y?x3?x当x?2，?x?0.01时，则?y?______，dy?______ 5、e-?xdx?d______ 6、sinxcosxdx?d______
二、解答题
7、设y?f(x)是由方程sin(x?y2)?3xy?1确定的隐函数，求dy。 18、设y?xx，求dy。
ex?1?x（这
秋专升本高等数学电子教案
