资料仅供参考
64、lim(cotx)x?0?sinx(lnx) 66、lim 65、xlim???1n?1nn21xln(x?a) xax?a?ln(e?e)(67、利用夹逼准则证明：limn???1n1n?22???1n?n2)?1。
(1?2?3)。 68、利用夹逼准则求：limn??
第三节 函数的连续性
一、函数连续概念和间断点的分类
1、函数y?f(x)在点x0处连续：lim?y?0(?x?x?x0，?y?f(x?x0)?f(x))
?x?02、函数y?f(x)在点x0处连续的直观意义：当自变量的改变量?x很微小时，函
数值的改变量?y也很微小。
3、函数y?f(x)在点x0处连续必须同时满足三个条件（判断连续方法1）： （1）函数y?f(x)在点x0（的某一邻域内）有定义； （2）limf(x)存在；
x?x0（3）limf(x)?f(x0)。
x?x0如果上述条件有一个不满足，则函数y?f(x)在点x0处间断，点x0称为函数y?f(x)的间断点。
4、左、右连续
（1）y?f(x)在点x0处左连续 ：limf(x)?f(x0)
?x?x0（2）y?f(x)在点x0处右连续 ：limf(x)?f(x0)
?x?x0y?f(x)在点x0处连续?y?f(x)在点x0处既左连续也右连续。（判断连续方法2）
5、间断点的分类：设点x0为函数y?f(x)的间断点， （1）第一类间断点： limf(x)和limf(x) 都存在，
?x?x0?x?x0资料仅供参考
①可去间断点：limf(x)?limf(x)
?x?x0?x?x0② 跳跃间断点：limf(x)?limf(x)
?x?x0?x?x0（2）第二类间断点：limf(x)或limf(x)不存在。
?x?x0?x?x0特别的，当 limf(x)??或limf(x)??或limf(x)??，则点x0称为无穷间断点
x?x?x?x0?x?x00（3） 初等函数的间断点往往是无定义的点
（4） 分段函数的间断点往往是分段点，这些分段点是否为间断点要从连续性的
三个条件判断。（常考题型）
（5） 间断点的分类关键在于正确计算函数的左右极限 二、连续函数的运算法则和初等函数的连续性。 1、连续函数的四则运算法则 2、复合函数的连续性
设点x0为u?g(x)的间断点，limg(x)?u0存在，且f(u)在点u0处连续，则
x?x0 limf?g(x)??f?limg(x)? ??x?x0?x?x0?3、反函数的连续性 4、初等函数的连续性
（1）一切初等函数在其定义区间内都是连续的。即如果初等函数f(x)在点x0有
定义，一定有limf(x)?f(x0)
x?x0（2）求初等函数的连续区间就等同于求其定义区间。 三、闭区间上连续函数的性质。
b?上连续，则f(x)在?a，b?上一定有1、最大值最小值定理：如果函数f(x)在?a，最大值和最小值。
b?上连续，2、介值定理：如果函数f(x)在?a，且其最大值和最小值分别为M和m，
则对于在m和M之间的任意常数C（m?C?M）,则至少存在一点??(a，b)，
资料仅供参考
使得 f(?)?C。
b?上连续，且f(a)?f(b)?0，则至少存在一点3、零点定理：如果函数f(x)在?a，??(a，b)，使得f(?)?0。
4、利用零点定理证明方程根的存在性的步骤：
b?上连续； （1）构造一个函数f(x)，说明f(x)在?a，（2）计算f(a)和f(b)，说明f(a)?f(b)?0； （3）由以上条件根据零点定理可得结论。
例题精讲
1、函数f(x)?5x2，自变量x有增量?x时，函数f(x)相应的增量?y=（ ） A.10x?x B. 10?5?x C. 10x?x?5(?x)2 D. 10?x?(?x)2 2、函数f(x)在点x?x0处有定义是f(x)在点x?x0处连续的（ ） A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.无关条件
?1?ln(x?1)，x?1且x?2?0，x?1 3、函数f(x)??的连续区间是（ ） ?2，x?2??A.[1，??) B. (1，??) C.(1，2)?(2，??) D. [1，2)?(2，??)
ex?1 4、设f(x)?，则x?0是f(x)的（ ）
xA.连续点 B.可去间断点 C.跳跃间断点 D.无穷间断点
x2?2x5、设函数f(x)?，则x?0是（ ）（历年真题）
x(x?1)A．可去间断点 B. 跳跃间断点 C.无穷间断点 D.连续点 6、函数y?x?3的连续区间是
(x?1)(x?2)_________。
资料仅供参考
1??xsin，7、如果函数f(x)??x??a?2，x?0x?0 在点x?0处连续，则a?_________。
?ex，8、设函数f(x)???a?x，a?x?0x?0 是(??，??)上的连续函数，则
_________。
_________类间断点。
x2?x9、函数f(x)?在点x??1处为第2x(x?1)10、研究下列函数的连续性，如果有间断点，指出其间断点的类型
?x，?2?x，2（1）f(x)???x2?1?0?x?1?1 （2）f(x)??1?x?2?x?1??x?1，x?0x?2，0?x?2，x?1 ，x2?11?xn(x?0) （3）f(x)?2 （4）f(x)?limnn??x?3x?21?x?x2?1，x??1??x??1 在x??1处连续。 11、确定a，b的值，使得函数f(x)??b，?a?arccosx，?1?x?1???a(tanx?sinx)，3?x?12、确定a，b的值，使得函数f(x)???1，?ln[1?(a?b)x]，?x??cosx，??x?213、设分段函数 f(x)???a?a?x，?x?x?0x?0x?0 在x?0处连续。 x?0
x?0(a?0)（1）a取什么值时，x?0是f(x)的连续点； （2）a取什么值时，x?0是f(x)的间断点； （3）当a?2时，求函数f(x)的连续区间。
arctan(14、limx?0sin3x)=x_________。
资料仅供参考
15、证明：方程x5?2x2?1至少有一个根介于1和2之间。 16、证明：方程x2x?1至少有一个小于1的正根。
2?上连续，而且1?f(x)?2，证明至少存在一点??(1，17、设函数f(x)在?1，2)，
使得f(?)??。
b?上连续，18、设函数f(x)和g(x)在?a，且f(a)?g(a)，试证：在(a，f(b)?g(b)，b)内至少存在一点?，使得f(?)?g(?)。
x2?上必有一19、设函数f(x)在(a，b)内连续，且a?x1?x2??xn?b，则在?x1，点?，使得 f(?)?
f(x1)?f(x2)??f(xn)
n第九章 无穷级数
第一节 常数项级数的概念和性质
一、 常数项级数的概念
1、?unn?1??u1?u2?u3???un??
?u1?u2?u3?u4???un ?n?1un称为级数的通项，Sn?u1?u2?u3???un称为级数的前n项(部分)和
Sn?S(常数)，则称级数?un收敛于S； 2、如果limn??n?1?Sn不存在，则称级数?un发散。 如果limn??n?1?
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