全国中学生物理竞赛集锦（光学）
第29届预赛
3．图中L为一薄凸透镜，ab为一发光圆面，二者共轴，S为与L平行放置的屏，已知这时ab可在屏上成清晰的像．现将透镜切除一半，只保留主轴以上的一半透镜，这时ab在S上的像（ B ） A．尺寸不变，亮度不变． B．尺寸不变，亮度降低． C．只剩半个圆，亮度不变． D．只剩半个圆，亮度降低．
第29届复赛
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第28届预赛
7．(10分）近年来，由于“微结构材料”的发展，研制具有负折射率的人工材料的光学性质及其应用，已受人们关注．对正常介质，光线从真空射人折射率为n的介质时，人射角和折射角满足折射定律公式，人射光线和折射光线分布在界面法线的两侧；若介质的折射率为负，即n<0，这时人射角和折射角仍满足折射定律公式，但人射光线与折射光线分布在界面法线的同一侧．现考虑由共轴的两个薄凸
透镜L1和L2构成的光学系统，两透镜的光心分别为O1和O2，它们之间的距离为s．若要求以与主光轴成很小夹角的光线人射到O1能从O2出射，并且出射光线与人射光线平行，则可以在O1和O2之间放一块具有负折射率的介质平板，介质板的中心位于OO’的中点，板的两个平行的侧面与主光轴垂直，如图所示．若介质的折射率n= -1.5，则介质板的厚度即垂直于主光轴的两个平行侧面之间的距离 d = 0.6s ．
第28届复赛
七、（20分）如图所示，L是一焦距为2R的薄凸透镜，MN为其主光轴。在L的右侧与它共轴地放置两个半径皆为R的很薄的球面镜A和B。每个
球面镜的凹面和凸面都是能反光的镜面。A、B顶点间的距离为
3R。在B的顶点C处开有一个透光的小2圆孔（圆心为C），圆孔的直径为h。现于凸透镜L左方距L为6R处放一与主轴垂直的高度也为h（h< 2.形成像I的光线经A反射，直接通过小孔后经L所成的像I1与透镜L的距离等于__________________。 3.形成像I的光线经A反射，再经B反射，再经A反射，最后通过L成像I2，将I2的有关信息填在下表： I2与L的距离 I2在L左方还是右方 I2的大小 I2是正立还是倒立 I2是实像还是虚像 4.物PQ发出的光经L后未进入B上的小圆孔C的那一部分最后通过L成像I3，将I3的有关信息填在下表： I3与L的距离 I3在L左方还是右方 I3的大小 I3是正立还是倒立 I3是实像还是虚像 2 第27届预赛 第27届复赛 八、(20分)正午时太阳的入射光与水平面的夹角??45。有一座房子朝南的墙上有一个直径W?10cm的圆窗，窗口中心距地面的高度为H。试设计一套采光装置，使得正午时刻太阳光能进入窗口，并要求进入的光为充满窗口、垂直墙面、且光强是进入采光装置前2倍的平行光。可供选用的光学器件如下：一个平面镜，两个凸透镜，两个凹透镜；平面镜的反射率为80%，透镜的透射率为70%，忽略透镜表面对光的反射。要求从这些器件中选用最少的器件组成采光装置。试画出你所设计的采光装置中所选器件的位置及该装置的光路图，并求出所选器件的最小尺寸和透镜焦距应满足的条件。 3 第26届预赛 6．（8分）传统的雷达天线依靠转动天线来搜索空中各个方向的目标，这严重影响了搜索的速度。现代的“雷达”是“相位控制阵列雷达”，它是由数以万计的只有几厘米或更小的小天线按一定的顺序排列成的天线阵，小天线发出相干的电磁波，其初相位可通过电子计算机调节，从而可改变空间干涉极强的方位，这就起了快速扫描搜索空中各个方向目标的作用对下的简单模型的研究，有助于了解改变相干波的初相位差对空间干涉级强方位的影响。 图中a、b为相邻两个小天线，间距为d，发出波长为λ的相干电磁波。Ox轴通过a、b的中点且垂直于a、b的连线。若已知当a、b发出的电磁波在a、b处的初相位相同即相位差为0a 时，将在与x轴成θ角（θ很小）方向的远处形成干涉级强，现设法改变a、 θ x b发出的电磁波的初相位，使b的初相位比a的落后一个小量φ，结果，原来d O ““ 相干极强的方向将从θ变为θ，则θ—θ等于______________________。 b 9．（8分）图于为某一圆形水池的示意图（竖直截面）。AB为池中水面的直径， MN为水池底面的直径，O为圆形池底的圆心。已知ON为11。4m，AM、BN为斜坡，池中水深5。00m水的折射率为4/3。水的透明度极好，不考虑水的吸收。图中a、b、c、d为四个发光点，天空是蓝色的，水面是平的。在池底中心处有一凹槽，一潜水员仰卧其中，他的眼睛位于O处，仰视水面的最大范围的直径为AB。 A B （i）潜水员仰视时所看到的蓝天图象对他的眼睛所张的视角为__________________。 c （ii）四个发光点a、b、c、d中，其发出的光能通过全反射到过M a b N O 潜水员的眼睛的是____________________________。 三、计算题。解答应写出必要的文字说明、方程式的重要的演算 步骤。只写出最后结果的不能得分。有数值计算的，答案中必须明确写出数值和单位。 （9分）试分析下面两个实验操作中的误差（或失误）对实验结果的影响。 （i）用“插针法”测量玻璃的折射率时，要先将透明面平行的玻璃砖放置在铺平的白纸上，然后紧贴玻璃砖的两个透明面，分别画出两条直线，在实验中便以这两条直线间的距离作为透明面之间的距离。如果由于操作中的误差，使所画的两条直线间的距离大于玻璃砖两透明面间的实际距离，问这样的测得的折射率与实际值相比，是偏大，偏小，还是相同？试给出简要论证。 第26届复赛 五、（20分）内半径为R的直立圆柱器皿内盛水银，绕圆柱轴线匀速旋转（水银不溢，皿底不露），稳定后的液面为旋转抛物面。若取坐标原点在抛物面的最低点，纵坐标轴z与圆柱器皿的轴线重合，横坐标轴r与z轴垂直，则液面的方程为z??22gr2，式中ω为旋转角速度，g为重力加速度（当代已使用大面 http://hfwq.cersp.net积的此类旋转水银液面作反射式天文望远镜）。 观察者的眼睛位于抛物面最低点正上方某处，保持位置不变，然后使容器停转，待液面静止后，发现与稳定旋转时相比，看到的眼睛的像的大小、正倒都无变化。求人眼位置至稳定旋转水银面最低点的距离。 4 第25届预赛 19．(11分)如图所示，一细长的圆柱形均匀玻璃棒，其一个端面是平面(垂直于轴线)，另一个端面是球面，球心位于轴线上．现有一根很细的光束沿平行于轴线方向且很靠近轴线入射．当光从平端面射入棒内时，光线从另一端面射出后与轴线的交点到球面的距离为a；当光线从球形端面射入棒内时，光线在棒内与轴线的的交点到球面的距离为b．试近似地求出玻璃的折射率n． 第24届预赛 七、（ 25 分）如图所示， L 是一焦距为 f 的薄凸透镜（ F 与F ’为其焦点）．在透镜右侧焦点F ’处放置一曲率半径大小为 R 的球面反射镜（其顶点位于 F ’处），透镜和球面镜组成一轴对称的光学系统．在透镜 L 左侧光轴上有限远处有一发光点P，它发出的傍轴光线经此光学系统后，恰好成像在P点．试在下面第 1 和第 2 小题中填空，在第 3 小题中作图． 1 ．若球面镜为凹面镜，则P点到透镜的距离等于_____________；若球面镜为凸面镜，则P点到透镜的距离等于____________________ . 2 ．若将一短细杆垂直于光轴放置，杆的下端位于P点，则此细杆经上述光学系统所成的最后的像的大小与物的大小之比对凹面镜等于_____________；对凸面镜等于____________. 3 ．若球面镜的半径大小 R=2f，试按作图法的规范要求，画出第 2 问中短杆对上述光学系统逐次成的像及成像光路图．（要求将凹面镜和凸面镜分别画在两张图上．评分时只按图评分，不要求写出作图理由和说明，但须用已知量标出各个像在光轴上的具体位置． ) 5 第24届复赛 六、（25分）图1所示为杨氏双缝干涉实验的示意图，取纸面为yz平面。y、z轴的方向如图所示。线光源S通过z轴，双缝S1、S2对称分布在z轴两侧，它们以及屏P都垂直于纸面。双缝间的距离为d，光源S到双缝的距离为l，双缝到屏的距离为D，d??D，d??l。 1.从z轴上的线光源S出发经S1、S2不同路径到P0点的光程差为零，相干的结果产生一亮纹，称为零级亮纹。为了研究有一定宽度的扩展光源对于干涉条纹清晰度的影响，我们先研究位于轴外的线光源S′形成的另一套干涉条纹，S′位于垂直于z轴的方向上且与S平行，两者相距?s，则由线光源S′出发分别经S1、S2产生的零级亮纹P0P与P0的距离?y?___________________________________ 2.当光源宽度为?的扩展光源时，可将扩展光源看作由一系列连续的、彼此独立的、非相干的线光源组成。这样，各线光源对应的干涉条纹将彼此错开，在屏上看到的将是这些干涉条纹的光强相加的结果，干涉条纹图像将趋于模糊，条纹的清晰度下降。假设扩展光源各处发出的光强相同、波长皆为?。当?增大导致零级亮纹的亮暗将完全不可分辨，则此时光源的宽度??______________________________ 3.在天文观测中，可用上述干涉原理来测量星体的微小角直径。遥远星体上每一点发出的光到达地球处都可视为平行光，从星体相对的两边缘点发来的两组平行光之间的夹角?就是星体的角直径。遥远星体的角直径很小，为测量如些微小的角直径，迈克尔逊设计了测量干涉仪，其装置简化为图2所示。M1、M2、M3、M4是四个平面反射镜，它们两两平行，对称放置，与入射光（a、 a′）方向成45°角。S1和S2是一对小孔，它们之间的距离是d。M1和M2可以同步对称调节来改变其中心间的距离h。双孔屏到观察屏之间的距离是D。a、 a′和b、 b′分别是从星体上相对着的两边缘点发来的平行光束。设光线a、 a′垂直双孔屏和像屏，星光的波长是?，试导出星体上角直径?的计算式。 注：将星体作圆形扩展光源处理时，研究扩展光源的线度对于干涉条纹图像清晰度的影响会遇到数学困难，为简化讨论，本题拟将扩展光源作宽度为?的矩形光源处理。 ? 图1 6 图2 第23届预赛 二、(20分，第1小题12分，第2小题8分) 1.老爷爷的眼睛是老花眼. (i)一物体P放在明视距离处，老爷爷看不清楚.试在示意图1中画出此时P通过眼睛成像的光路示意图. (ii)戴了一副300度的老花镜后，老爷爷就能看清楚放在明视距离处的物体P，试在示意图2中画出P通过老花镜和眼睛成像的光路示意图. (iii)300度的老花镜的焦距f=____m. 2.有两个凸透镜，它们的焦距分别为f1和f2，还有两个凹透镜，它们的焦距分别为f3和f4.已知，f1＞f2＞|f3|＞|f4|.如果要从这四个透镜中选取两个透镜，组成一架最简单的单筒望远镜，要求能看到放大倍数尽可能大的正立的像，则应选焦距为____的透镜作为物镜，应选焦距为____的透镜作为目镜. 第23届复赛 六、（23分）有一种被称为直视分光镜的光谱学仪器。所有光学元件均放在一直长圆筒内。筒内有：三个焦距分别为f1、f2和f3的透镜L1,L2,L3，f1?f2?f3； 观察屏P，它是一块带有刻度的玻璃片； 由三块形状相同的等腰棱镜构成的 图1 分光元件（如图1所示），棱镜分别用折射率不同的玻璃制成，两侧棱镜的质料相同，中间棱镜则与它们不同，棱镜底面与圆筒轴平行。圆筒的一端有一与圆筒轴垂直的狭缝，它与圆筒轴的交点为S，缝平行于棱镜的底面．当有狭缝的一端对准筒外的光源时，位于圆筒另一端的人眼可观察到屏上的光谱。 已知：当光源是钠光源时，它的黄色谱线（波长为589.3 nm，称为D线）位于圆筒轴与观察屏相 交处。制作棱镜所用的玻璃，一种为冕牌玻璃，它对钠D线的折射率nD＝1.5170;另一种为火石玻璃，它 7 对钠D线的折射率n?D=1.7200。 1.试在图2中绘出圆筒内诸光学元件相对位置的示意图并说出各元件的作用。 2.试论证三块棱镜各应由何种玻璃制成并求出三棱镜的顶角?的数值。 图2 第22届预赛 三、（18分）内表面只反射而不吸收光的圆筒内有一半径为R的黑球，距球心为2R处有一点光源S，球心O和光源S皆在圆筒轴线上，如图所示．若使点光源向右半边发出的光最后全被黑球吸收，则筒的内半径r最大为多少？ r S 2R O R 第21届预赛 一、（15分）填空 1．d．一个可见光光子的能量的数量级为_________J。 2．已知某个平面镜反射的光能量为入射光能量的80％。试判断下列说法是否正确，并简述理由。 a． 反射光子数为入射光子数的80％； b．每个反射光子的能量是入射光子能量的80％。 六、（15分）有一种高脚酒杯，如图所示。杯内底面为一凸起的球面，球心在顶点O下方玻璃中的C点，球面的半径R＝1.50cm，O到杯口平面的距离为8.0cm。在杯脚底中心处P点紧贴一张画片，P点距O点6.3cm。这种酒杯未斟酒时，若在杯口处向杯底方向观看，看不出画片上的景物，但如果斟了酒，再在杯口处向杯底方向观看，将看到画片上的景物。已知玻璃的折射率n1＝1.56，酒的折射率n2＝1.34。试通过分析计算与论证解释这一现象。 第21届复赛 四、(20分)目前，大功率半导体激光器的主要结构形式是由许多发光区等距离地排列在一条直线上的长条状，通常称为激光二极管条．但这样的半导体激光器发出的是很多束发散光束，光能分布很不集中，不利于传输和应用．为了解决这个问题，需要根据具体应用的要求，对光束进行必需的变换（或称整形）．如果能把一个半导体激光二极管条发出的光变换成一束很细的平行光束，对半导体激光的传输和应用将是非常有意义的．为此，有人提出了先把多束发散光会聚到一点，再变换为平行光的方案，其基本原理可通过如下所述的简化了的情况来说明． 如图，S1、S2、S3 是等距离（h）地排列在一直线上的三个点光源，各自向垂直于它们的连线的同一方向发出半顶角为? =arctan?14?的圆锥形光束．请使用三个 h h S1 S2 S3 ??????L z P 8 完全相同的、焦距为f = 1.50h、半径为r =0.75 h的圆形薄凸透镜，经加工、组装成一个三者在同一平面内的组合透镜，使三束光都能全部投射到这个组合透镜上，且经透镜折射后的光线能全部会聚于z轴（以S2为起点，垂直于三个点光源连线，与光束中心线方向相同的射线）上距离S2为 L = 12.0 h处的P点．（加工时可对透镜进行外形的改变，但不能改变透镜焦距．） 1．求出组合透镜中每个透镜光心的位置． 2．说明对三个透镜应如何加工和组装，并求出有关数据． 第20届预赛 一、（20分）两个薄透镜L1和L2共轴放置，如图所示．已知L1的焦距f1=f , L2的焦距f2=—f，两透镜间距离也是f．小物体位于物面P上，物距u1 ＝3f． （1）小物体经这两个透镜所成的像在L2的__________边，到L2的距离为_________，是__________倍（虚或实）、____________像（正或倒），放大率为_________________。 （2）现在把两透镜位置调换，若还要给定的原物体在原像处成像，两透镜作为整体应沿光轴向_________边移动距离_________．这个新的像是________像（虚或实）、________像（正或倒）放大率为_________。 第20届复赛 四、(20分)如图所示，一半径为R、折射率为n的玻璃半球，放在空气中，平表面中央半径为h0的区域被涂黑．一平行光束垂直入射到此平面上，正好覆盖整个表面．Ox为以球心O为原点，与平而垂直的坐标轴．通过计算，求出坐标轴Ox上玻璃半球右边有光线通过的各点（有光线段）和无光线通过的各点（无光线段）的分界点的坐标． 9 第19届预赛 五、（20分）图预19-5中，三棱镜的顶角?为60?，在三棱镜两侧对称位置上放置焦距均为 f?30.0cm的两个完全相同的凸透镜L1和 L2．若在L1的前焦面上距主光轴下方y?14.3cm处放一单色点光源S，已知其像S?与S对该光学系统是左右对称的．试求该三棱镜的折射率． 第19届复赛 五、（20分）薄凸透镜放在空气中时，两侧焦点与透镜中心的距离相等。如果此薄透镜两侧的介质不同，其折射率分别为n1和n2，则透镜两侧各有一个焦点（设为F1和F2），但F1、F2和透镜中心的距离不相等，其值分别为f1和f2。现有一个薄凸透镜L，已知此凸透镜对平行光束起会聚作用，在其左右两侧介质的折射率及焦点的位置如图复19-5所示。 1．试求出此时物距u，像距v，焦距f1、f2四者之间的关系式。 2．若有一傍轴光线射向透镜中心，已知它与透镜主轴的夹角为?1，则与之相应的出射线与主轴的夹角?2多大？ 3．f1，f2，n1，n2四者之间有何关系？ 六、（20分）在相对于实验室静止的平面直角坐标系S中，有一个光子，沿x轴正方向射向一个静止于坐标原点O的电子．在y轴方向探测到一个散射光子．已知电子的静止质量为m0，光速为c,入射光子的能量与散射光子的能量之差等于电子静止能量的1／10． 1．试求电子运动速度的大小v,电子运动的方向与x轴的夹角?；电子运动到离原点距离为L0（作为已知量）的A点所经历的时间?t． 10 2．在电子以1中的速度v开始运动时，一观察者S?相对于坐标系S也以速度v沿S中电子运动的方向运动(即S?相对于电子静止)，试求S?测出的OA的长度． 第18届预赛 三、（18分）一束平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射，经透镜折射后，会聚于透镜f?48cm 处，透镜的折射率n?1.5。若将此透镜的凸面镀银，物置于平面前12cm处，求最后所成象的位置。 第18届复赛 一、（22分）有一放在空气中的玻璃棒，折射率n?1.5，中心轴线长L?45cm，一端是半径为R1?10cm的凸球面． 1．要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜（使主光轴上无限远处物成像于主光轴上无限远处的望远系统），取中心轴线为主光轴，玻璃棒另一端应磨成什么样的球面？ 2．对于这个玻璃棒，由无限远物点射来的平行入射光柬与玻璃棒的主光轴成小角度?1时，从棒射出的平行光束与主光轴成小角度，求?2/?1（此比值等于此玻璃棒望远系统的视角放大率）． 11 第17届预赛 三、（15分）有一水平放置的平行平面玻璃板H，厚3.0 cm，折射率n?1.5。在其下表面下2.0 cm处有一小物S；在玻璃扳上方有一薄凸透镜L，其焦距f?30cm，透镜的主轴与玻璃板面垂直；S位于透镜的主轴上，如图预17-3所示。若透镜上方的观察者顺着主轴方向观察到S的像就在S处，问透镜与玻璃板上表面的距离为多少? 第17届复赛 二、（20分）如图复17-2所示，在真空中有一个折射率为n（n?n0， n0为真空的折射率）、半径为r的质地均匀的小球。频率为?的细激 光束在真空中沿直线BC传播，直线BC与小球球心O的距离为l（l?r），光束于小球体表面的点C点经折射进入小球（小球成为光传播的介质），并于小球表面的点D点又经折射进入真空．设激光束的频率在上述两次折射后保持不变．求在两次折射过程中激光束中一个光子对小球作用的平均力的大小． 六、（25分）普通光纤是一种可传输光的圆柱形细丝，由具有圆形截面的纤芯A和包层B组成，B的折射率小于A的折射率，光纤的端面和圆柱体的轴垂直，由一端面射入的光在很长的光纤中传播时，在纤芯A和包层B的分界面上发生多次全反射．现在利用普通光纤测量流体F的折射率．实验方法如下：让光纤的一端（出射端）浸在流体F中．令与光纤轴平行的单 色平行光束经凸透镜折射后会聚光纤入射端面的中心O，经端面折射进入光纤，在光纤中传播．由点O出发的光束为圆锥形，已知其边缘光线和轴的夹角为?0，如图复17-6-1所示．最后光从另一端 12 面出射进入流体F．在距出射端面h1处放置一垂直于光纤轴的毛玻璃屏D，在D上出现一圆形光斑，测出其直径为d1，然后移动光屏D至距光纤出射端面h2处，再测出圆形光斑的直径d2，如图复17-6-2所示． 1．若已知A和B的折射率分别为nA与nB，求被测流体F的折射率nF的表达式． 2．若nA、nB和?0均为未知量，如何通过进一步的实验以测出nF的值? 第16届预赛 五、（15分）一平凸透镜焦距为f，其平面上镀了银，现在其凸面一侧距它2f处，垂直于主轴放置一高为H的物，其下端在透镜的主轴上（如图预16-5）。 1. 用作图法画出物经镀银透镜所成的像，并标明该像是虚、是实。 2. 用计算法求出此像的位置和大小。 第16届复赛 二、（25分）两个焦距分别是f1和f2的薄透镜L1和L2，相距为d，被共轴地安置在光具座上。 1. 若要求入射光线和与之对应的出射光线相互平行，问该入射光线应满足什么条件？ 2. 根据所得结果，分别画出各种可能条件下的光路示意图。 13
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