专题十 计数原理
第三十一讲 二项式定理
2019年
1.(2019全国III理4)(1+2x2 )(1+x)4的展开式中x3的系数为 A.12
B.16
C.20
D.24
92.(2019浙江13)在二项式(2?x)的展开式中,常数项是________,系数为有理数的
项的个数是_______.
1??3.(2019天津理10)?2x?3?是展开式中的常数项为 .
8x?? 2010-2018年
一?选择题
1.(2018全国卷Ⅲ)(x?)的展开式中x的系数为 A.10
B.20
C.40
D.80
282x542.(2017新课标Ⅰ)(1?126展开式中的系数为 x)(1?x)2xA.15 B.20 C.30 D.35
3.(2017新课标Ⅲ)(x?y)(2x?y)的展开式中xy的系数为
A.?80 B.?40 C.40 D.80 4.(2016年四川) 设i为虚数单位,则(x?i)的展开式中含x的项为
A.-15x B.15x C.-20ix D.20ix
5.(2015湖北)已知(1?x)的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式
系数和为
A.212 B.211 C.210 D.29
n6.(2015陕西)二项式(x?1)(n?N?)的展开式中x2的系数为15,则n?
533644444
nA.4 B.5 C.6 D.7
3a5)的展开式中含x2的项的系数为30,则a? 7.(2015湖南)已知(x?x
A.3 B.?3 C.6 D.-6
8.(2014浙江)在(1?x)(1?y)的展开式中,记xy项的系数为f(m,n),
则f(3,0)?f(2,1)?f(1,2)?f(0,3)= A.45 B.60 C.120 D. 210
59.(2014湖南)(x?2y)的展开式中xy的系数是
64mn1223A.-20 B.-5 C.5 D.20
1??10.(2013辽宁)使得?3x???n?N??的展开式中含常数项的最小的n为
xx??A.4 B.5 C.6 D.7
n2??11.(2013江西)?x2?3?展开式中的常数项为
x??A.80 B.-80 C.40 D.-40 12.(2012安徽)(x?2)(251?1)5的展开式的常数项是( ) 2x15)的二项展开式中,x的系数为 xA.?3 B.?2 C.? D.? 13.(2012天津)在(2x2?A.10 B.-10 C.40 D.-40 14.(2011福建)(1?2x)的展开式中,x的系数等于
A.80 B.40 C.20 D.10 15.(2011陕西)(4?2)(x?R)展开式中的常数项是
A.?20 B.?15 C.15 D.20 二?填空题
16.(2018天津)在(x?x?x65212x)5的展开式中,x2的系数为 . 18)的展开式的常数项是___________. 2x325432=x?a1x?a2x?a3x?a4x?a5,则
17.(2018浙江)二项式(3x?18.(2017浙江)已知多项式(x?1)(x?2)a4=___,a5=___.
19.(2017山东)已知(1?3x)的展开式中含有x项的系数是54,则n? . 20.(2016年山东)若(ax?2n215)的展开式中x5的系数是-80,则实数a=_______. xx)5的展开式中,x3的系数是 .(用数字填写答案)
.(用数字作答)
21.(2016年全国I)(2x?522.(2015北京)在?2?x?的展开式中,x3的系数为 423.(2015新课标2)(a?x)(1?x) 的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,
则a=______.
24.(2014新课标1)(x?y)(x?y)的展开式中xy的系数为 .(用数字填写答案) 25.(2014新课标2)?x?a?的展开式中,x7的系数为15,则a=___.(用数字填写答案)
10827b??326.(2014山东)若?ax2??的展开式中x项的系数为20,则a2?b2的最小值为 . x??6a??427.(2013安徽)若?x?的展开式中x的系数为7,则实数a?______. ?3x??28.(2012广东)(x2?)6的展开式中x3的系数为______.(用数字作答)
2529.(2012浙江)若将函数f(x)?x表示为f(x)?a0?a1(1?x)?a2(1?x)
81x??a5(1?x)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则a3? .
30.(2011浙江)设二项式(x?a6)(a?0)的展开式中x3的系数为A,常数项为B,若B=4A,则xa的值是 . 31.(2010安徽)(xy6?)展开式中,x3的系数等于 . yx专题十 计数原理
第三十一讲 二项式定理
答案部分 2019年
2431?C3?1?2?C1?13?12(1?2x)(1?x)44x1. 解析 的展开式中的系数为.故选A.
2.解析:二项式
?2?x的展开式的通项为Tr?1?C(2)?9r99?rx?2r9?r2rrC9x.
由r?0,得常数项是T1?162;当r=1,3,5,7,9时,系数为有理数,所以系数为有理数的项的个数是5个.
r3.解析 由题意,可知此二项式的展开式的通项为Tr+1?C8?2x?8?r?1???3?? ?8x?rr?1?r8?r?1?rC82???x8?r?3??C8??1?28?4rx8?4r?8??x?rr.
所以当8?4r?0,即r?2时,T为常数项,此时
r?12T3?T2?1?C8???1?28?4?2?282.
2010-2019年
1.C【解析】Tr?1?C5(x)2C5?22?40.故选C.
r25?r24rr10?3r,由10?3r?4,得r?2,所以x的系数为()r?C52xx2.C【解析】(1?为30,选C.
1122622442xx展开式中含的项为,故前系数)(1?x)1?Cx??Cx?30x6622xxr5?rr53.C【解析】(2x?y)的展开式的通项公式为:Tr?1?C5(2x)(?y),
323533当r?3时,x(2x?y)展开式中xy的系数为C5?2?(?1)??40, 232533当r?2时,y(2x?y)展开式中xy的系数为C5?2?(?1)?80,
所以xy的系数为80?40?40.选C.
r6?rr242444.A【解析】通项Tr?1?C6xi(r?0,1,2,???,6),令r?2,得含x的项为C6xi??15x,
33故选A.
37n5.D【解析】因为(1?x)的展开式中的第4项与第8项的二项式系数相等,所以Cn?Cn,解
得n10,所以二项式(1?x)的展开式中奇数项的二项式系数和为
10110?2?29. 2nn122nn26.C【解析】由(x?1)?(1?x)?1?Cnx?Cnx?????Cnx,知Cn?15,
∴
n(n?1)?15,解得n?6或n??5(舍去),故选C. 2r5rr5?r27.D【解析】Tr?1?C(?1)ax,令r?1,可得?5a?30?a??6,故选D.
302112038.C【解析】由题意知f(3,0)?C6C4,f(2,1)?C6C4,f(1,2)?C6C4,f(0,3)?C6C4,因此
f(3,0)?f(2,1)?f(1,2)?f(0,3)?120.
323239.A【解析】由二项展开式的通项可得,第四项T4?C5(x)(?2y)??20xy,故xy的系
1223数为-20,选A. 10.B【解析】通项C(3x)rnn?r(1xx)?C3rrnn?rx5n?r2,常数项满足条件n?5r,所以r?2时2n?5最小.
11.C【解析】Tr?1?C5(x)22项为(?2)C5?40.
r25?r(?2rrr10?5r,令10?5r?0,解得r?2,所以常数)?(?2)Cx53x12.D【解析】第一个因式取x,第二个因式取
552114得:1?C5(?1)?5,第一个因式取2,第二个2x因式取(?1)得:2?(?1)??2 展开式的常数项是5?(?2)?3.
r25-r?1r5-rrr10-3r13.D【解析】∵Tr+1=C5(2x)?(?x)=2(?1)C5x,∴10?3r=1,即r=3,
∴x的系数为?40.
2225214.B【解析】(1?2x)的展开式中含x的系数等于C5(2x)?40x,系数为40.答案选B. rx6?r?xrr2x(6?r)r?2?xr?C6?212x?3xr, 15.C【解析】Tr?1?C6(4)(2)?C6?24令12x?3xr?0,则r?4,所以T5?C6?15,故选C.
3r5?1r135r5?rr)?C5x2(?)r,令5?r?2,得r?2, 16.【解析】Tr?1?C5x(?2222x所以x的系数为C5(?)?17.7【解析】Tr?1?Cx为C8?()?7.
2r88?r3221225. 28?4r1r8?4rr1r()?C8()x3,令?0,解得r?2,所以所求常数项2x23122
理科数学历年高考真题分类训练附答案解析之31二项式定理
