精选
2017高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式课时练 理
时间：45分钟
基础组
1.[2016·衡水中学仿真]下列命题正确的是( ) 1
A．若x≠kπ，k∈Z，则sin2x＋2≥4
sinx4
B．若a<0，则a＋≥－4
aC．若a>0，b>0，则lga＋lgb≥2D．若a<0，b<0，则＋≥2
lga·lgb
aabb答案 D
4
解析 当sin2x＝1时，1＋1＝2<4，所以A错；若a<0，则a＋≤－4，B错；因为
alg a，lg b可以小于零，C错；由a<0，b<0，所以，都大于零，D正确．
baabt＋2t2
2．[2016·武邑中学一轮检测]若不等式范围是( )
tt2＋9
≤a≤在t∈(0,2]上恒成立，则a的取值
?1?
A.?，1? ?6??14?C.?，? ?613?
答案 D
?1?B.?，22? ?6??2?D.?，1? ?13?
99913t12
解析 2＝，而t＋在(0,2]上单调递减，故t＋≥2＋＝，2＝≤
t＋99tt22t＋9913
t＋t＋
1
ttt?11?111t＋212
2(当且仅当t＝2时等号成立)，2＝＋2＝2?＋?－，因为≥，所以2＝＋2＝
tttt2ttt?t4?8
2
t＋21
?11?1?2?
22?＋?－≥1(当且仅当t＝2时等号成立)，故a的取值范围为?，1?.
?t4?8?13?
可编辑
精选
3．[2016·武邑中学月考]设a>b>c>0，则2a2＋值是( )
A．2 C．2
5
1
abaa－b＋
1
－10ac＋25c2的最小
B．4 D．5
答案 B 解析 4
原式＝a2＋
1＋
1
＋a2－10ac＋25c2＝a2＋
4
1
＋(a－5c)2≥a2
abaa－bba－b＋2＋0≥4，当且仅当b＝a－b、a＝5c且
aa2＝a2
，即a＝2b＝5c＝2时等号成立，故原
式的最小值为4.故选B.
4．[2016·衡水中学热身]已知a>0，b>0，且2a＋b＝4，则1A. 41C. 2答案 C
解析 由4＝2a＋b≥21
2ab，得ab≤2，又a>0，b>0，所以≥，当且仅当a＝1，
ab2
11
的最小值为( )
abB．4
D．2
b＝2时等号成立．
5. [2016·枣强中学期中]已知正数x，y满足x＋2y＝2，则答案 9 解析 由已知得
x＋8yxy的最小值为________．
x＋2y2
＝1，则
x＋8y18?18??x＋2y?1xy＝＋＝?＋??
yx?yx??2?2
?＝10＋＋( x16yx )
y≥(102
1
＋241
16)＝9，当且仅当x＝，y＝时取等号．
33
2y8x6．[2016·衡水二中预测]已知x>0，y>0，若＋>m2＋2m恒成立，则实数m的
xy取值范围是________．
可编辑
精选
答案 －4 2y8x解析 根据题意，x>0，y>0，则>0，>0， xy2y8x所以＋≥2xy2y8x2y8x×＝8，当且仅当＝时， xyxy2y8x即y＝2x时等号成立，即＋的最小值为8. xy2y8x若＋>m2＋2m恒成立，必有m2＋2m<8恒成立， xy所以m2＋2m<8，m2＋2m－8<0，即－4 7．[2016·枣强中学期末]已知点P(x，y)到A(0,4)和B(－2,0)的距离相等，则2x＋4y的最小值为________． 答案 42 解析 由题意得，点P在线段AB的中垂线上，则易得x＋2y＝3， ∴2x＋4y≥2的最小值为42x·4y＝2 2x＋2y＝4 2，当且仅当x＝2y＝时，等号成立，故2x＋4y2 3 2. 8．[2016·衡水二中模拟]已知x，y∈R，满足x2＋2xy＋4y2＝6，则z＝x2＋4y2的取值范围为________． 答案 [4,12] 解析 ∵2xy＝6－(x2＋4y2)，而2xy≤ x2＋4y2 2 ，∴6－(x2＋4y2)≤ x2＋4y2 2 ，∴x2＋4y2≥4， 当且仅当x＝2y时取等号．又∵(x＋2y)2＝6＋2xy≥0，即2xy≥－6，∴z＝x2＋4y2＝6－2xy≤12.综上可得4≤x2＋4y2≤12. ?1? ?－1?9．[2016·武邑中学预测]已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证： ?x??1??1??－1??－1?>8. ?y??z? 11－xy＋z2 证明 因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，所以－1＝＝>yzxxxx ① 可编辑 精选 11－yx＋z2－1＝＝> xzyyyy ②， 11－zx＋y2－1＝＝> xyzzzz ③， 又x，y，z为正数，由①×②×③，得 ?1??1??1??－1??－1??－1?>8. ?x??y??z? 10．[2016·冀州中学仿真]证明： 4 4 a－3 ＋a≥7(a>3)． 4 4 证明 因为a>3，所以2×4＋3＝7. 当且仅当 4 a－3 ＋a＝ a－3 ＋(a－3)＋3≥2 a－3 ×a－3＋3＝ a－3 ＝a－3，即a＝5时，等号成立． 11．[2016·武邑中学猜题]已知lg (3x)＋lg y＝lg (x＋y－1)． (1)求xy的最小值； (2)求x＋y的最小值． 解 由lg (3x)＋lg y＝lg (x＋y＋1)， x>0，??得?y>0，??3xy＝x＋y＋1. (1)∵x>0，y>0，∴3xy＝x＋y＋1≥2∴3xy－2即3(∴(3∴ xy＋1. xy－1≥0， xy)2－2xy－1≥0， xy＋1)(xy－1)≥0， xy≥1，∴xy≥1. 当且仅当x＝y＝1时，等号成立． ∴xy的最小值为1. 可编辑 精选 ?x＋y? ?2. (2)∵x>0，y>0，∴x＋y＋1＝3xy≤3·? ?2? ∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0， ∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0，∴x＋y≥2， 当且仅当x＝y＝1时取等号， ∴x＋y的最小值为2. 12. [2016·衡水二中期末]如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体的沉淀箱．污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)? 解 解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数， 则y＝ kab，其中k为比例系数，且k>0. 根据题意有，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)， 30－a所以b＝(0 2＋a30－a30a－a2 所以ab＝a×＝ 2＋a2＋a64 ＝－a＋32－ 2＋a?64? ? ＝34－?a＋2＋a＋2?? ≤34－2 a＋2·＝18. a＋2 64 可编辑
2017高考数学一轮复习第七章不等式7.4基本不等式课时练理
