.
∴EF和BC1所成的角为60°.
8． 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为BB1、CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为________． 答案
35
10
解析 以A为坐标原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴、
z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
11
则A1(0,0,1)，E(1,0，)，F(，1,0)，D1(0,1,1)．
221→
∴A1E＝(1,0，－)，A1D1＝(0,1,0)．
2→
设平面A1D1E的一个法向量为n＝(x，y，z)， 1→???x－z＝0，?n·A1E＝0，
则?即?2
→???n·A1D1＝0，?y＝0.令z＝2，则x＝1.∴n＝(1,0,2)． →1
又A1F＝(，1，－1)，
2∴点F到平面A1D1E的距离为 1|－2|
|A1F·n|235d＝＝＝.
|n|105
→
三、解答题
9． 如图，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABD所成
的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，
CD＝1，AD＝2.
(1)建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标； (2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值． 解 (1)建立如图空间直角坐标系，
∵∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2， ∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)．
由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角， ∴∠PAD＝60°.
.
.
在Rt△PAD中，由AD＝2， 得PD＝23，∴P(0,0,23)．
→→
(2)∵PA＝(2,0，－23)，BC＝(－2，－3,0)， →→
∴cos〈PA，BC〉 ＝
2×－2＋0×－3＋－23×013
＝－，
13413
13. 13
∴异面直线PA与BC所成的角的余弦值为
10．(2013·天津)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面
ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱 AA1的中点．
(1)证明：B1C1⊥CE；
(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值；
(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为的长．
方法一 如图，以点A为原点，以AD，AA1，AB所在直线为x轴，
2
，求线段AM6
y轴，z轴建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)， B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)．
→→→→(1)证明 易得B1C1＝(1,0，－1)，CE＝(－1,1，－1)，于是B1C1·CE＝ 0，所以B1C1⊥CE.
→
(2)解 B1C＝(1，－2，－1)． 设平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)， →??m·B1C＝0，则?
→??m·CE＝0，
?x－2y－z＝0，
即?消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法?－x＋y－z＝0.
向量为m＝(－3，－2,1)．
→
由(1)知，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故B1C1＝(1,0，－1)为平面
CEC1的一个法向量．
于是cos〈m，B1C1〉＝
→
－42721→＝＝－，从而sin〈m，B1C1〉＝， →7714×2|m|·|B1C1|
m·B1C1
→
.
.
所以二面角B1－CE－C1的正弦值为
21. 7
→→→→→→→
(3)解 AE＝(0,1,0)，EC1＝(1,1,1)，设EM＝λEC1＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM＝AE＋EM＝(λ，λ＋1，λ)．
→
可取AB＝(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量． 设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则 →→|AM·AB|
sin θ＝|cos〈AM，AB〉|＝
→→|AM|·|AB|
→
→
＝
2λλ2＋λ＋1
λ2
＝， 22
＋λ×23λ＋2λ＋1
λ21
于是＝，解得λ＝(负值舍去)， 2
33λ＋2λ＋16所以AM＝2.
方法二 (1)证明 因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1，B1C1?平面
A1B1C1D1，所以CC1⊥B1C1.
经计算可得B1E＝5，B1C1＝2，EC1＝3， 从而B1E＝B1C1＋EC1， 所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E，
又CC1，C1E?平面CC1E，CC1∩C1E＝C1， 所以B1C1⊥平面CC1E， 又CE?平面CC1E，故B1C1⊥CE.
(2)解 过B1作B1G⊥CE于点G，连接C1G.
由(1)知，B1C1⊥CE，故CE⊥平面B1C1G，得CE⊥C1G，所以∠B1GC1为二面角B1－CE－
2
2
2
C1的平面角．
26
在△CC1E中，由CE＝C1E＝3，CC1＝2，可得C1G＝.
3在Rt△B1C1G中，B1G＝
4221，所以sin ∠B1GC1＝， 37
21
. 7
即二面角B1－CE－C1的正弦值为
(3)解 连接D1E，过点M作MH⊥ED1于点H，可得MH⊥平面ADD1A1，连接AH，AM，则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角． 设AM＝x，从而在Rt△AHM中，有
.
.
MH＝
234x，AH＝x. 66
在Rt△C1D1E中，C1D1＝1，ED1＝2， 1得EH＝2MH＝x.
3
在△AEH中，∠AEH＝135°，AE＝1， 由AH＝AE＋EH－2AE·EHcos 135°， 得
17212x＝1＋x2＋x， 1893
2
2
2
2
整理得5x－22x－6＝0，解得x＝2(负值舍去)． 所以线段AM的长为2.
B组 专项能力提升 (时间：30分钟)
1． 过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为 A．30° 答案 B
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB＝PA＝1，知A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1) 由题意得，AD⊥平面ABP，设E为PD的中点， 连接AE，则AE⊥PD，
又∵CD⊥平面PAD，∴AE⊥CD， 又PD∩CD＝D，∴AE⊥平面CDP.
11→→→→
∴AD＝(0,1,0)，AE＝(0，，)分别是平面ABP、平面CDP的法向量，而〈AD，AE〉＝
2245°，
∴平面ABP与平面CDP所成的二面角为45°.
2． 在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中点，E，F分别是CC1，
( )
B．45° C．60° D．90°
AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于________．
答案
15 5
解析 以D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立 空间直角坐标系，
.
.
∴F(1,0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，E(0,2,1)， →
∴FD1＝(－1,0,2)，
OE＝(－1,1,1)，
15
∴cos〈FD1，OE〉＝＝.
55·3
→
→
3． 设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________．
答案
23
3
1＋2
→
解析 如图建立空间直角坐标系， 则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)， →
∴D1A1＝(2,0,0)，
DA1＝(2,0,2)，DB＝(2,2,0)，
设平面A1BD的一个法向量n＝(x，y，z)， →??n·DA1＝2x＋2z＝0则?
→??n·DB＝2x＋2y＝0
→→
.令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，
∴点D1到平面A1BD的距离 →
|D1A1·n|223d＝＝＝.
|n|33
4． 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P—ABCD中，AD∥BC，∠ABC ＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝23，BC＝6. (1)求证：BD⊥平面PAC； (2)求二面角P—BD—A的大小．
(1)证明 如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(23，0,0)，
C(23，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)，
→→→
∴AP＝(0,0,3)，AC＝(23，6,0)，BD＝(－23，2,0)． →→→→
∴BD·AP＝0，BD·AC＝0.∴BD⊥AP，BD⊥AC. 又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC. (2)解 设平面ABD的法向量为m＝(0,0,1)， 设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)， →→→
则n·BD＝0，n·BP＝0.∵BP＝(－23，0,3)，
.
立体几何中的向量方法
