2024年九年级数学典型中考压轴题训练：《三角形综合》
1．（1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．求证：①BD＝CE，②∠DCE＝120°；
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、
C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），
连接CE，类比题（1），请你猜想：①∠DCE的度数；②线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△
ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．
①则题（2）的结论还成立吗？请直接写出，不需论证； ②连结BE，若BE＝10，BC＝6，直接写出AE的长．
证明：（1）①如图1，∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠ACB＝∠B＝60°， ∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠EAC． 在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE；
②∵△ABD≌△ACE， ∴∠ACE＝∠B＝60°，
∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°； （2）∠DCE＝90°，BD2+CD2＝DE2． 证明：如图2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE， ∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°， ∴∠BCE＝90°，
∴Rt△DCE中，CE2+CD2＝DE2， ∴BD2+CD2＝DE2；
（3）①（2）中的结论还成立． 理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABC＝∠ACE＝45°，BD＝CE， ∴∠ABC+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°， ∴∠BCE＝90°＝∠ECD， ∴Rt△DCE中，CE2+CD2＝DE2， ∴BD2+CD2＝DE2；
②∵Rt△BCE中，BE＝10，BC＝6，
∴CE＝∴BD＝CE＝8， ∴CD＝8﹣6＝2，
＝＝8，
∴Rt△DCE中，DE＝
∵△ADE是等腰直角三角形， ∴
．
＝＝，
2．【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠
EDF＝90°，点D在直线L上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，
研究DP和DB的数量关系．
【探究发现】（1）如图2，某数学兴趣小组运用从特殊到一般的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程； 【数学思考】（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程．
【探究发现】
证明：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC ∴∠CAB＝∠CBA＝45° ∵CD∥AB
∴∠CBA＝∠DCB＝45°，且BD⊥CD ∴∠DCB＝∠DBC＝45° ∴DB＝DC 即DP＝DB； 【数学思考】
证明：（2）∵DG⊥CD，∠DCB＝45° ∴∠DCG＝∠DGC＝45°
∴DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，
2024年九年级数学典型中考压轴题训练：《三角形综合》(含答案)
