5.2向量空间的定义和基本性质
授课题目：5.2线性空间的定义和基本性质
教学目标：理解并掌握线性空间的定义及基本性质 授课时数：3学时
教学重点：线性空间的定义及基本性质 教学难点：性质及有关结论的证明 教学过程：
一、线性空间的定义
1. 引例―――定义产生的背景
例子． 设?,?,??Fn,a,b?F则向量的加法和数与向量的乘法满足下述运算律. （1）??????? （2）(???)?????(???)
对??，有??使??（??）?0 （3）?零向量0，对??有0???? （4）
（5）a(???)?a??a? （6）(a?b)??a??b? （7）(ab)??a(b?) （8）1???? 这里?,?,??Fn,a,b?F 2. 向量空间的定义－抽象出的数学本质
Def: 设V 是一个非空集合，其中的元素称为向量。记作?,?,?,?；F是一个数域
a,b,c??F,如果在集合V中定义了一个叫做加法的代数运算，且定义了FV到V的一个
叫做纯量乘法的代数运算.（F中元素与V中的乘积记作a?,a??V）。如果加法和纯量乘法满足：
1）???????
2）(???)?????(???)
3）?0?V,对???V，有0???? （找出元）
4）???V，?ˊ?V使得???ˊ=称ˊ为的负向量（找出负元） 5）a(???)?a??a? 6）(a?b)??a??b? 7）(ab)??a(b?) 8）1????
V是F上的一个线性空间，并称F为基数域. 3. 进一步的例子――加深定义的理解
例1：复数域C对复数的加法和实数与复数的乘法作成实数域R上的线性空间. 例2：任意数域F可看作它自身的线性空间. 例3 V?{?}其加法定义为?????, 数乘定义为a???, 则V是数域F上的线性空间.
注: V={0}对普通加法和乘法是数域F上的线性空间, 称为零空间.
例4：设F是有理数域，V是正实数集合，规定
??????,a????a(?,??V,a?F)
练习 集合V对规定的?,?是否作成数域F上的线性空间？
V?Fn,(a1,a2,?,an)?(b1,b2,?,bn)?(a1?b1,a2?b2,?,an?bn),a?(a1,a2,?,an)?(0,0,?,0)解 显然V对?,?满足条件1）—7），但对任意的
(a1,a2,?,an)?Fn
有1?(a1,a2,?,an)?(0,0,?,0)?(a1,a2,?,an),
故集合V对规定的不作成数域F上的线性空间.
由此例可以看出, 线性空间定义中的条件8)是独立的, 它不能由其他条件推出. 二、线性空间的简单性质
1、线性空间V的加法和纯量乘法有以下基本性质. Th5.2.1
1） V的零向量唯一，V中每个向量的负向量是唯一的.
2） ?(??)??
证明：1）设01,02是V的两个零向量，则01?01?02?02. 设?1,?2是的负向量, 则有
?1???0,?2???0,
于是
?1??1?0??1?(???2)?(?1??)??2?0??2??2
*由于负向量的唯一性, 以后我们把的唯一负向量记作. 2） 因??(??)?0, 所以?(??)??.
3） *我们规定: ??????(??), 且有???????????.
定理5.2.2 对F的任意数a, b和V中任意向量?,?, 则有
1) 0???0?0.
2) a(??)?(?a)???a?, 特别地, (?1)????. 3) a??0?a?0或??0.
4) a(???)?a??a?,(a?b)??a??b?.
证明: 1) 因为0??(0?0)??0??0?. 所以0??0. 类似地可证?0?0.
(??)?a(??(??))?a 2) 因为a??aa(??)??a?.
同理可证 (?a)???a?. 3)
设
0? 所以a(??)是的负向量, 即
a??0,
?1如果
?1a?0, 则有
a?1?F, 于是
??11??a?(?a)?a?(a? a)?0?0. 4) a(???)?a(??(??))?a??a(??)?a??a?,
(a?b)??(a?(?b))??a??(?b)??a??b?.
注: 线性空间的定义中1????与定理5.2.2的性质3)在其他条件不变的情况下等价. 事实上, 由线性空间的定义可推出定理5.2.2的性质3).
反之, 由线性空间定义中的条件1)—7)及定理5.2.2的性质3）可推得1????
1?(1????)?1?(1???(??))因为 ?1?(1??)?1?(??)?(1?1)???(?1)??
?1???(?1)???0,由性质3） 1?????0所以 .,1????课堂讨论题：
检验以下集合对于指定的线性运算是否构成相应数域上的线性空间：
1）起点在原点，终点在一条直线上的空间向量的全体作成的集合V，按通常集合向量的加法及数乘运算；
2）V1?{(x1,x2,?,xn)x1?x2???xn?1,xi?F}
V2?{(x1,x2,?,xn)x1?x2???xn?0,xi?F}
按通常数域F上n维向量的加法及乘法运算； 3）V3?{XTr(X)?0,X?Fn?n}
V3?{数域F上n阶对称与反对称方阵的全体}
按通常数域F上矩阵的加法及乘法运算； 4）V5?{a1x?a3x3???a2n?1x2n?1ai?F}
V6?{a0?a1x?a2x2???an?1xn?1a0?a1???an?1?1,ai?F}
按通常数域F上多项式的加法及数乘运算；
5）全体实数R的集合按通常数的加法与乘法运算是否构成复数域C上线性空间？ 全体复数域C的集合按通常数的加法与乘法运算是否构成实数域R上线性空间？ 6）数域F上的n阶方阵全体，按通常数与矩阵乘法，但加法定义为 A?B?AB?BA 三、子空间
1、子空间的定义
定义2：子空间的定义：V是F上一个线性空间，W是V的一个非空子集，如果W对V的加法和FV到V的纯量乘法，也作成F上的一个线性空间，则称W是V的子空间。
例5：F[x]是F[x]的子空间.
例6：V是它本身的一个子空间. {0}也是V的子空间.
V和零空间叫做V的平凡子空间，V的其他子空间叫做V的真子空间.
2、子空间的判断：
Th5.2.3设V是数域F上的线性空间, W是V的一个非空子集，则W是V的子空间
的充要条件：
（1）??,??V,有????V （2）?a?F,??V有a??W 证明：
(1) W对加法封闭, 即对任意?,??W,有????W. (2) W对纯量乘法封闭, 即对任意a?F,??W,有a??W.
证明: 必要性. 设W是V的子空间, 则V的加法是W的代数运算, 从而W对V的加法封闭; 另外, F?V到V的纯量乘法也是F?W到W的纯量乘法, 因此W对纯量乘法也封闭.
充分性. 由于W对V的加法封闭, 对F?V到V的纯量乘法封闭, 所以V的加法是W的代数运算, F?V到V的纯量乘法也是F?W到V的纯量乘法的代数运算. 线性空间定义中的算律1), 2), 5), 6), 7), 8)对V中任意向量都成立, 自然对W的向量也成立. 由W对纯量乘法的封闭性和定理5.2.2, 对于??W,0?0??W, 所以V中的零向量属于W, 它自然也是W的零向量, 并且???(?1)??W, 因此条件3)和条件4)也成立, 故W是V的子空间.
推论1：W是V的一个非空子集，则W是V的子空间的充要条件：
?a,b?F,?,??W有a??b??W
3、生成子空间
例7：设?1,?2,?,?n是数域F上的线性空间V的一组向量.
L(?1,?2,?,?n)?{a1?1?a2?2???an?n|ai?F}
则L(?1,?2,?,?n)作为V的一个子空间.
事实上,取ai?0(i?1,2,?,n),于是0?0?1?0?2??0?n?L(?1,?2,?,?n),又因(a1?1?a2?2??an?n)?(b1?1?b2?2??bn?n)
所以L(?1,?2,?,?n)??.
?(a1?b1)?1?(a2?b2)?2???(an?bn)?n)?L(?1,?2,?,?n)a(a1?1?a2?2??an?n)
?(aa1)?1?(aa2)?2???(aan)?n?L(?1,?2,?,?n),所以L(?1,?2,?,?n)作成V的一个子空间.L(?1,?2,?,?n)称为由?1,?2,?,?n生成的子空间,?1,?2,?,?n称为它的一组生成元.
4、子空间的交与并
Th4:W,W是V的两个子空间，则W W仍是V的子空间. (问WW是否为V的子空间.)
证明: 因为W,W是V的两个子空间，所以0?W1,0?W2,从而0?W1?W2,于是
W1?W2??.
对任意a,b?F,?,??W1?W2,
有a??b??W1,a??b??W2, 因而a??b??W1?W2,
所以W1?W2是V的子空间.
推广：若W，W?Wn是V的子空间，则?Wi(i?1,2,?n)也是V的子空间. 例：A是一个n阶矩阵，S（A）={BMn[F]|AB=BA}则S（A）是Un[F]的一个
子空间.
证：?IA?AI?I?S(A)??
?B1,B2?S(A),于是AB1?B1A，AB2?B2A
又
A(kB1?lB2)?kAB1?lAB2?kB1A?lB2A?(kB1?lB2)A?kB1?lB2?S(A)
2.两个子空间的并则不一定是子空间.（WW={?|??W1或??W2}）
例：设V1，V2是V的两个子空间，证明V1?V2是V的子空间的充要条件是V1?V2或V2?V1.
“?”（充分性）证： 当时V1?V2=
当时V1?V2=
由已知，均为V的子空间.
“”（反证）设V1?V2是V的子空间，且，，则存在，，也存在，，由于?,?V1?V2且
V1?V2是V的子空间，因而???V1?V2，于是???或???，故有或与且矛盾
因此 或
向量空间的定义和基本性质
