典例分析：三角形
考点一：三角形的三边关系
例1、在活动课上，小红已有两根长为4cm，8cm的小木棒，现打算拼一个等腰三角形，则小红应取的第三根小木棒的长 cm．
分析：要取第三根小木棒的长度，就要看它和己有的两根小木棒构成的三角形是否满足：任意两边之和大于第三边或任意两边之差小于第三边．
解：当4为腰时，4，4，8不满足三角形三边关系定理，当8为腰时，4，8，8满足三角形三边关系定理，所以应填8．
点评：三角形的三边关系的应用是考试的热点问题，经常以填空题、选择题的形式出现．
例2、用7根火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形，能摆成的不同的三角形的个数为
析解：设三角形的边长分别为x、y、z．则 x?y?z?7 其 中x、y、z 都是正整数，那么三边长的可能情况有1,1,5;1,2,4;1,3,3;2,2,3 再根据三角形的两边之和大于第三边进行验证，可知只有1，3，3；2，2，3符合要求． 考点二：三角形的内角和
例3、若三角形的一个角是另一个角的6倍，而这两个角的和比第三个角大
44?，则此三角形的最大角是____.
析解：设另一个角为x度，则此角是6x度，第三个角是（x+6x-44）度。根据三角形的内角等于180°，得（x+6x-44）+x+6x=180，所以x=16，6x=96，x+6x-44=68，所以最大角为96°． 考点三：三角形的内角和外角
例4、 如图在直角△ABD中，∠D=90°,C为AD上一点，则x可能是（ ）
A、10° B、20° C、30° D、40°
析解：根据三角形的内角和外角的关系有6x=90°+∠DBC，又因为∠DBC应为锐角，代入各项分别验证应选B．
例5、如图?ABC的平分线和△ABC的外角?ACE的平分线交于点D，
?BDC?30?求?A的度数
析解：根据三角形的内角和外角的关系有?DCE?30???DBC
又?ACE??ABC??A
??A?60?
考点四：多边形的内角和外角
例6、如图有两个正方形和一个等边三角形，则图中度数30°的角有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
解析： 选D. 通过计算，∠CDG，∠CEF，∠GHB，∠CHF的度数都为30°. 点评： 由四边形内角和为360°，正方形每一个内角为90°，等边三角形的每一内角为60°可得. 考点五：平面镶嵌问题
例7、一幅美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，那么另一个为（ ）
A. 正三边形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形
解析： 多边形平面镶嵌需要满足的条件之一：拼接在同一个点的各个角的和
恰好等于360?. 因为正三角形、正四边形、正六边形的每个内角是60°，90°，120°，则第四个正多边形的内角必须是360°-60°-90°-120°=90°，所以另一个多边形是正四边形. 选B. 考点六、与三角形有关的变化规律
例8、在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，…则在第n个图中，互不重叠的三角形共有 个，（含n的式子表示）
析解：图形分割的规律是：每增加一个小三角形，图形中不重叠的三角形总数增加3个，依照这样的规律，第4个图形中不重叠的三角形共有4+3+3+3=13，第5个图形中共有4+3+3+3+3=16，第n个图形中，互不重叠的三角形的个数为4+?n?1?3?，即3n?1.
人教版八年级数学上册第十一章典例分析：三角形
