2024届湖南省永州市高三第一次模拟考试
数学（理科）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 4．考试结束后，只交答题卡．
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填入答题卷内．） 1．设集合A=｛x∈Z|x2－4x+3≤0｝，集合B={2，3，4，5}，则A?B?
A．? 2．已知z?
B．{2}
C．{2，3}
D．{2，3，4}
1（i是虚数单位），则复数z的模为 1?iC．2
D． 2
B．2
2243．若x?2，则x?的最小值为
x?2A．1 A．4
开始 B． 5 C． 6 D． 7
14． 已知数列{an}满足a2 =2，an+1=an，则数列{an}的前5项和S5等于 2A．31
4B．
输入a，b c =a MOD b a=b b= c c =0? 否 31 2C．31 D．32
?2x?y?4?0?5．已知实数x,y满足约束条件?x?2y?2?0，则z?x?y的最小值
?y?2?是
A． －1
B． 1
C．2
D．4
是 输出a 结束 （第6小题图）
6．如图所示的程序框图的算法思路来源于“欧几里得算法”．图中的
“a MOD b”表示a除以b的余数，若输入a，b的值分别为195，
52，则执行该程序输出的结果为 A．13 B．26 C．39 D．780
7．已知数列{an}前n项和为Sn，且an=n，令bn=1，则数列{bn}的前n项和Tn为
2SnA．1?
n1B．1?1n?1 C．2?
n2 D．2?2n?1
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??（，）fx）?acos2x?sinx在区间8．若函数（单调递减，则实数a的取值范围是 63A．[，??) B．(，??)
2211C．[36，??) D．[，??)
419．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
3????A．6? B．6? C．6? D．6?
424410．已知函数f（x－1）（x∈R）是偶函数，且函数f（x）的图象关于
点（1，0）成中心对称，当x∈［－1，1］时，f（x）=x－1，则f（2024）=
A．－2 B．－1
C．0
D．2
111正视图侧视图俯视图（第9小题图）
11．直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AC＝BC＝3，AA1＝2，则直线AA1与平面A1BC所成角的正弦值是
3443A． B． C． D．
4535x2y21a?0，b?0）12．已知双曲线C：2?2?（的右焦点F，过点F作其中一条渐近线的垂线，
abuuuruuur垂足为M，与另一条渐近线交于N，若FN?2MF，则双曲线的离心率为
23 B．2 C．3 3A．
D．22 第II卷
本卷包括必考题和选考题，第13题?第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题?第23题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卷中对应题号后的横
线上．） 13． 在（2x?1x3）的展开式中，常数项是 ．
14．从3个男生、2个女生中随机抽取2人，则抽中的2人不全是男生的概率是 ．
x2y2x2y21a?b?0）15．椭圆是的圆的一个伸缩变换，椭圆C′：2?2?（是圆C：2?2?1作伸
abaa永州市2024年高考第一次模拟考试试卷·数学（理科）第2页（共10页）
?x??xb?缩变换?得到的，我们说C′与C的纵伸缩比是，横伸缩比是1，伸缩变换的b?y?ya?a?x2y2图形的面积比为伸缩比之积，圆C：2?2?1的面积是S＝πa2，设椭圆C′：
aa22xybS?b?S??1(a?b?0)的面积为，由＝知S′＝πab．过点P（3，0）作直?1?a2b2aaSx2y2??1相交于点M，N，则△OMN（O是坐标原点）的面积最大值线l与椭圆42是 ．
uuruuruuuruuruur16．在△ABC中，CA＝2，CB＝4，CA?CB??2，O是△ABC的外心，若CO?xCA?yCB，
则x+y＝ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）如图，在△ABC中，AB＝8，点D的BC边上，且CD=2，
113cos∠ADC=，cos∠DAB=． A714（1）求角B； （2）求AC的长．
BDC
（第17小题图）
18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为长方形，AB＝2BC＝6，
P点E线段AB的中点，PC＝PD＝PE＝32，点F在线段
F1PC上，且PF?PC；
3（1）证明：AD?PC；
（2）求二面角F－DE－C的余弦值．
DAEBC（第18小题图）
y19．（本小题满分12分）如图，圆M：x2+(y－2)2=32，N（0，－2），
点P是圆M上的点，连接PN交圆于点Q，过N作MQ的平行线交MP于E．
EM （1）求证：｜ME｜＋｜NE｜为定值，并求动点E的轨迹Γ的
方程； O（2）点F（4，3），点A（1，0），过A作直线l交Γ于G，H两N点，求证：直线FG，FH的斜率之和为定值． Q （第19小题图） 20．（本小题满分12分）某城市的美团外卖和百度
外卖两家公司其“骑手”的日工资方案如下：
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2024届湖南省永州市高三第一次模拟考试理科数学试题
