大学物里作业分析（5）（2007/04/24）
求下列刚体对定轴的转动惯量
(1) 一细圆环，半径为R，质量为m但非均匀分布，轴过环心且与环面垂直； (2) 一匀质空心圆盘，内径为R1，外径为R2，质量为m，轴过环中心且与环面垂直； (3) 一匀质半圆面，半径为R，质量为m，轴过圆心且与圆面垂直。
解:(1) 取质元dm，质元对轴的转动惯量dJ=R2dm 园环转动惯量为各质元转动惯量之和 J??dJ??R2dm?R2?dm?R2m (2) 园盘的质量面密度为??m2?(R2?R12)
1112224 m2R2????R2?R2???R22221112挖去的空心部分小园盘的转动惯量为 J1?m1R2????R12?R12???R14
22211m444J?J2?J1???(R2?R14)??(R?R)21222?(R2?R12)空心园盘转动惯量为
12?m(R12?R2)21 (3) 若为完整的园盘，转动惯量为 J0??2m?R2?mR2
211半园盘转动惯量为整个园盘的一半，即 J?J0?mR2
22若是实心大园盘，转动惯量为 J2?注：只有个别同学做错了！
如图5-31所示，一边长为l的正方形，四个顶点各有一质量为m的质点，可绕过一顶点且与正方形垂直的水平轴O在铅垂面内自由转动，求如图状态(正方形有两个边沿着水平方向有两个边沿着铅垂方向)时正方形的角加速度。
O
题图 图5-31
解：正方形的转动惯量 J?2?ml2?m(2l)2?4ml2 正方形受到的重力矩 m?2mgl
由转动定律 M=J 得到转动角加速度 ??M2mglg?? 2J2l4ml注：此题做得很好！
如图5-32所示，一长度为l，质量为m的匀质细杆可绕距其一端l/3的水平轴自由转动，
求杆在如图角位置?处的角加速度。
O ?
图5-32 题图
解：杆对轴的转动惯量为左、右两部分之和 J?J1?J2?1ml212m2l212??()???()?ml 3333339lM3g杆受重力矩为 M?mg?cos? 由转动定律 M=J 得到 ???cos?
6J2l注：此题大部分同学都能做对。
一星球可看作匀质球体，若在一个演化过程中它的半径缩小为原来的一半，它的自转周期为原来的 倍，它赤道上一点的速率是原来的 倍。
解：；2
一匀质圆盘半径为R，质量为m1，以角速度?0绕过盘心的垂轴O转动，一质量为m2的子弹以速度v沿圆盘的径向击入盘边缘，求击入后盘的角速度。
m1?011 解：按角动量守恒有 m1R2??0?(m1R2?m2R2)? 得到 ??
m1?2m222注：这两个题做得很好！
如图5-39所示，一细杆长度为l，质量为m1，可绕在其一端的水平轴O自由转动，
初时杆自然悬垂。一质量为m2的子弹以速率v沿杆的垂向击入杆中心后以速度v2穿出，求杆获得的角速度及最大上摆角。
v v 2图5-39 题图
解：按角动量守恒有 m2v?lvl1?m2??m1l2? 得到杆获得的角速度 2223??3m2v 4m1l按机械能守恒
11l?m1l2??2?m1g?(1?cos?) 得到杆最大上摆角232)
??arccos(1?223m2v216m1gl注：此题做得不好，有些同学只把角速度算出来了，还有些同学角度没算对！
如图5-41所示，一细杆长度为l，质量为m，在光滑水平面上以速度v沿杆垂向平动。杆与垂轴z相撞后绕z轴转动。若碰撞位置O距杆一端l3，求杆绕z轴转动的角速度。
解：杆的角动量守恒，有 L1=L2
2(1) L1为碰撞前杆的角动量，以逆时针转动为正方向，下面l部分角动量L下为正、上
31面l部分角动量L上为负：即L1?L下?L上。 3对于下面部分，取线元dx，线元质量为dm?动量为 dL?mmvdx，动量为dp?dx，对于转轴的角ll2l/3mvmv2xdx故 L下??dL??xdx?mvl同理，对于上面部分
0ll9L上??dL??l/30mv1dxd?mvl l181mvl 6故碰撞前杆的角动量 L1?L上?L下?(2) L2为碰撞后角动量。 碰后杆绕子轴转动的惯量为 J?角动量 L2?J??1221111?m?(l)2??m?(l)2?ml2 333333912ml? 911mvl?ml2? 得到杆转动角速度 69(3) 由角动量守恒 L1=L2有
??3v 2l注：此题大部分同学做对了！
5． 20如图5-42所示，一定滑轮可看作匀质圆盘，它的半径为R，质量为m1，可绕过
盘心的水平轴O自由转动。轮上绕有轻绳，绳上挂两个质量分别为m2和m3的物体，已知m2>m3，求m2从静止下落h时的速度
m3 h 图5-42 题图
解：以初始位置作为两个重物的重力势能零点，按机械守恒，有
111(m2?m3)v2??m1R2??2?m3gh?m2gh 222按角量线量关系有 v?R? 0?联立以上二式解得 v?2(m2?m3)gh
m1?2m2?2m3(1) (2)
如图5-44所示，一劲度系数为k的轻弹簧左端固定，右端连一轻绳，绳子绕过一半径为r，质量为m1的定滑轮后连接一质量为m2的物体。滑轮可看作匀质圆盘且轴视作光滑。先用手托住物体使弹簧为自然长度，然后松手使其下落。 (1) 求弹簧的最大伸长；
(2) 求重物下落h处的速度。
图5-44 题图
解：(1) 设最大伸长为lm，设初始位置为重物的重力势能零点，按机械守恒有 0?12klm?m2glm 22m2g k (2) 按机械能守恒有 得到 lm?1111m2v2??m1R2??2?kh2?m2gh 2222由角量线量关系有 v=R 0?(1) (2)
4m2gh?2kh2联立以上二式解得 v?
m1?2m2注：此题做得不错！
取初始位置为如图5-45所示，一细杆长度l=0.5m，质量m=6kg，可绕其一端的水平
轴O在竖直平面内无摩擦转动。在O轴正上方高度h=2l处的p点固定着一个原长也为l，劲度系数k=100Nm–1的弹簧。把杆的活动端与弹簧的活动端挂接并使杆处于水平位置后释放，求杆转到竖直位置时的角速度
h k lm 图5-45 题图
解：杆重力势能的零点，按机械能守恒定律有
111lk(5l?l)2??ml2??2?mg? 22323kl(5?1)2?3mg?4.2rad/s 解得 ??ml注：此题过程都会，但是结果有出入！
大学物理力学作业分析(5)
