（新课标）高考数学一轮总复习第五章数列54数列求和课时规
范练理（含解析）新人教A版
课时规范练
(授课提示：对应学生用书第273页)
A组 基础对点练
1．(2024·娄底期末)等差数列{an}中，a3＋a7＝4，则{an}的前9项和等于( A ) A．18 C．－18
B．27 D．－27
2．在数列{an}中，an＋1－an＝2，Sn为{an}的前n项和．若S10＝50，则数列{an＋an＋1}的前10项和为( C ) A．100 C．120
B．110 D．130
*
3．(2024·安顺期末)设直线(n＋1)x＋ny＝2(n∈N)与两坐标轴围成的三角形面积为Sn，则S1＋S2＋…＋S2 018的值为( C ) 2 016A. 2 0152 018C. 2 019
*
2 016B． 2 0172 018D． 2 017
解析：直线(n＋1)x＋ny＝2(n∈N)与两坐标轴的交点为?0，122则Sn＝··＝
2nn＋1n111
＝－， n＋1nn＋1
?
?2?，0?，
n??n＋1?
2???和?
1111112 018
则S1＋S2＋…＋S2 018＝1－＋－＋…＋－＝1－＝. 2232 0182 0192 0192 0194．(2024·永定区校级月考)在有限数列{an}中，Sn为{an}的前n项和，把
S1＋S2＋…＋Sn称n为数列{an}的“优化和”，若数列a1，a2，…，a2 018的“优化和”为2 019，则数列2，a1，
a2，…，a2 018的“优化和”为( B )
A．2 021 C．2 019
B．2 020 D．2 018
解析：数列a1，a2，…，a2 018的“优化和”为2 019. 即为
S1＋S2＋…＋S2 018
2 018
＝2 019，
2，a1，a2，…，a2 018的“优化和”为
2＋2＋S1＋2＋S2＋…＋2＋S2 018
2 019＝2＋
S1＋S2＋…＋S2 018
2 0192 018×2 019＝2＋＝2 020.
2 019
5．(2024·温州期末)已知等差数列{an}中，a2＝3，a6＝7，设bn＝100
＋…＋bn≤成立的最大n的值为 100 .
101解析：∵等差数列{an}中，a2＝3，a6＝7， ∴求得{an}的首项a1＝2，d＝1， ∴an＝2＋(n－1)×1＝n＋1， ∴bn＝
an1
，则使b1＋b2
an－1
an1
＝
an－1n111
＝－， n＋1nn＋1
1111111100
∴b1＋b2＋…＋bn＝1－＋－…＋－＝1－，∴1－≤，解得n≤100.
223nn＋1n＋1n＋1101100
即使b1＋b2＋…＋bn≤成立的最大n的值为100.
101
6．数列{an}满足an＋1＋(－1)an＝2n－1，则{an}的前60项和为 1 830 . 解析：当n＝2k(k∈N)时，a2k＋1＋a2k＝4k－1， 当n＝2k－1(k∈N)时，a2k－a2k－1＝4k－3， ∴a2k＋1＋a2k－1＝2，∴a2k＋3＋a2k＋1＝2， ∴a2k－1＝a2k＋3，∴a1＝a5＝…＝a61.
∴a1＋a2＋a3＋…＋a60＝(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a60＋a61)＝3＋7＋11＋…＋(2×60－1)＝30×3＋119
＝30×61＝1 830.
2
7．已知递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，a6＝64，且a4，a5的等差中项为3a3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝
*
*
nna2n－1
，求数列{bn}的前n项和Tn.
解析：(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，
??a1q＝64，
由题意，得?342
?a1q＋a1q＝6a1q，???a1＝2，
解得?
?q＝2，?
n5
n
所以an＝2. (2)因为bn＝
a2n－12
＝
n2n－1，
1234n所以Tn＝＋3＋5＋7＋…＋2n－1，
222221123n－1nTn＝3＋5＋7＋…＋2n－1＋2n＋1， 422222
11?
1－n???所以34T11111n2?4?n24＋3nn＝2＋23＋25＋27＋…＋22n－1－22n＋1＝－2n＋1＝－2n＋1，
1－
1233×2
4故T816＋12n84＋3nn＝9－9×22n＋1＝9－9×2
2n－1.
8．S2
n为数列{an}的前n项和．已知an>0，an＋2an＝4Sn＋3. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝
1
a，求数列{bn}的前n项和．
nan＋1
解析：(1)由a2
2
n＋2an＝4Sn＋3，可知an＋1＋2an＋1＝4Sn＋1＋3. 两式相减可得a2
2
n＋1－an＋2(an＋1－an)＝4an＋1， 即2(a2
2
n＋1＋an)＝an＋1－an＝(an＋1＋an)·(an＋1－an)． 由于an>0，所以an＋1－an＝2.
又由a2
1＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.
所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1. (2)由a1
1n＝2n＋1可知bn＝
1
a?1＋3?na＝
n＋1
2n＋1
2n＋3＝2?1
?2n＋1－2n??
.
设数列{bn}的前n项和为Tn，则
Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝1??11??112????3－5??＋??5－7?
??＋…＋
??1?－12n＋12n＋3??????
＝
n32n＋3
. B组 能力提升练
1．(2024·宜宾期末)在数列{a＝0，a111
n}中，若a1n＋1－an＝2n，则a＋＋…＋的值为( 2a3anA.n－1
n B．n＋1
n C.
n－1
nn＋1
D．
n＋1
解析：数列{an}中，若a1＝0，an＋1－an＝2n， 可得an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
A )
＝0＋2＋4＋…＋2(n－1)＝n(n－1)， 1即有＝
ann111*
＝－，n≥2，n∈N， n－1n－1n111111111n－1
可得＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
a2a3an223n－1nnn1??，n为奇数，2．(2024·南京期末)已知数列{an}的通项公式为an＝?nn＋2
??n－7，n为偶数，{an}前15项和S15的值为 解析：由
127
. 17
则数列
n1?11?1
＝?－?， n＋22?nn＋2?
11?1?11111
可得S15＝?1－＋－＋－＋…＋－?＋
1517?2?33557(2＋4＋6＋…＋14)－7×7 1161127
＝×＋×7×16－49＝. 217217
3．等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值． 解析：(1)设等差数列{an}的公差为d. 由已知得?
??
?a1＋d＝4，?
a1＋3d＋a1＋6d＝15，
解得?
?a1＝3，???d＝1.
所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2. (2)由(1)可得bn＝2＋n，
所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(2＋2)＋(2＋3)＋…＋(2＋10) ＝(2＋2＋2＋…＋2)＋(1＋2＋3＋…＋10) 2×＝
11
2
3
10
2
3
10
n1－21－2
10
＋
1＋10×10
2
＝2＋53 ＝2 101.
1*
4．已知数列{an}满足2anan＋1＝an－an＋1，且a1＝，n∈N.
2(1)求数列{an}的通项公式；
1
??n－1＋n＋1
(2)设数列{b}的前n项和为S，若数列{b}满足b＝?
nna??2a2n＝2knnnn＋1
n＝2k－1，
(k∈N)，求S64.
解析：(1)由2anan＋1＝an－an＋1变形得
1
*
an＋1an1
－＝2.
?1?11
又＝2，所以数列??是以2为首项，2为公差的等差数列，所以＝2＋2(n－1)＝2n，故
a1
?an?
anan＝.
2n(2)由(1)可得anan＋1＝
2n又
＝
n－1＋n＋1
1
1
＝
2n＋24n1?11?1
＝?－?. n＋14?nn＋1?
4－26－4?2－0
＋＋＋…＋
22?2
1
n＋1－n－1
2
，所以S64＝?
64－62?1
?＋4× 2?
??1－1?＋
??2????
?1－1?＋?1－1?
?23??34?????
＋…＋
?1－1??＝
?3233?????
1?1401?
4＋×?1－?＝. 4?33?33
5．(2024·武汉二次联考)若数列{an}的前n项和为Sn，首项a1>0，且2Sn＝an＋an(n∈N)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若an>0(n∈N)，令bn＝
*
2
*
an21
1
，求数列{bn}的前n项和Tn.
an＋2
解析：(1)当n＝1时，2S1＝a＋a1，则a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝即(an＋an－1)·(an－an－1－1)＝0?an＝－an－1或an＝an－1＋1， ∴an＝(－1)
n－1
a2a2n＋ann－1＋an－1
2
－
2
，
或an＝n.
(2)由an>0，∴an＝n，bn＝∴Tn＝
n1?11?1
＝?－?. n＋22?nn＋2?
11??11?1??1??11?1?13
1－?＋?－?＋…＋?－1＋－－＝＝－???????3??24?2??2?2n＋1n＋2?4?nn＋2??
2n＋3
. 2n＋1n＋2
(新课标)高考数学一轮总复习第五章数列54数列求和课时规范练理(含解析)新人教A版
