1．给出下列说法：
①经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；
②连结圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线； ③圆柱的任意两条母线互相平行； ④圆柱的侧面展开图是矩形； ⑤圆柱的母线有且只有一条．
上述说法中，正确的说法的序号为________．
解析：①正确，因为母线互相平行且都垂直于底面；②不正确，因为连结圆柱上、下底面圆周上两点的线段不一定与圆柱的轴平行；③正确，因为圆柱的任意一条母线都与轴平行；④正确，沿圆柱的一条母线剪开，将其侧面展开，便得到一个矩形；⑤不正确，因为圆柱的母线有无数条．
答案：①③④
2．半圆以它的直径为旋转轴，旋转一周所成的曲面是________． 解析：所形成的曲面是球面，球面所围成的几何体是球． 答案：球面
3．矩形ABCD(不是正方形)绕一边所在的直线旋转一周得到圆柱，则得到不同形状的圆柱有________个．
解析：矩形的两条边都可作为轴． 答案：2
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则以斜边所在直线为轴旋转一周可得旋转体，当用一个平面垂直于斜边去截这个几何体时，所得截面圆的直径的最大值是________．
解析：直角三角形绕斜边所在的直线旋转一周，得到的旋转体是同底面的两个圆锥，截面圆的直径的最大值即为这两个圆锥的底面直径，也就是原直角三角形斜边上的高的2倍．
24答案：
5一、填空题
1．下列说法中，正确的序号是________．
①以等腰三角形底边上的中线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥； ②经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形； ③圆锥侧面的母线长一定大于圆锥底面圆直径． 解析：等腰三角形底边上的中线将该三角形分割成两个全等的直角三角形，这两个直角三角形绕其公共直角边旋转而成的几何体是圆锥，∴命题①正确．∵圆锥的任意两条母线长相等，而经过圆锥任意两条母线的截面三角形中有两条边恰为这两条母线，∴命题②正确．当生成圆锥的直角三角形的斜边长为5，两直角边长分别为3和4时，圆锥的母线长小于圆锥底面直径，∴命题③不正确．
答案：①②
2．下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周(如图所示)，能形成圆台的是________．
解析：根据定义，①形成的是圆台，②形成的是球，③形成的是圆柱，④形成的是圆锥． 答案：①
3．下图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为
顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是________．
解析：当截面过底面直径时，截面如图(1)；当截面不过底面直径时，截面如图(5)． 答案：(1)(5)
4．(2024年盐城调研)如果圆柱的底面直径为4，母线长为2，那么圆柱的侧面展开图的面积为________．
解析：圆柱的侧面展开图为矩形，两邻边的长分别为圆柱的母线长和底面圆的周长．
4
S＝2π××2＝8π.
2
答案：8π 5．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面半径的比是1∶4，截去的圆锥的母线长是3 cm，则圆台的母线的长为________．
解析：设圆台的母线长为y cm，截得的圆锥底面的半径与原圆锥底面的半径分别是x,4x，3x所以＝，∴y＝9.即圆台的母线长为9 cm.
3＋y4x答案：9 cm 6．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面可能是图中的________(填序号)．
解析：截面平行于正方体的一个面时得图③，截面过正方体的体对角线时得图②，截面不平行于正方体的任何面也不过体对角线时得图①.
答案：①②③
7．如果圆台两底面半径是7和1，则与两底面平行且等距离的截面面积为________． 解析：还原成圆锥，作出截面图(等腰三角形)，利用相似三角形计算． 答案：16π
8．在半径为30 m的圆形广场中心上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，其轴截面的顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度应为________m.
解析：画出圆锥的轴截面，转化为平面几何问题求解，此题可转化为已知等腰三角形的顶角为120°，底边一半的长为30 m，求底边上的高线长．
答案：103
9．用不过球心O的平面截球O，截面是一个球的小圆O1，若球的半径为4 cm，球心O与小圆圆心O1的距离为2 cm，则小圆半径为________ cm.
2222
解析：如图，r＝R－d＝4－2＝23(cm)．
答案：23 二、解答题
10．如图是一个数学奥林匹克竞赛的奖杯，请指出它是由哪些几何体组合而成的．
解：将该几何体分解可知，它是由一个球，一个四棱柱和一个四棱台组合而成．
22
11．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm和25π cm.求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长．
解：(1)如图所示，圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，由已知可得上底半径O1A＝2 cm，下底半径OB＝5 cm，又腰长为12 cm，所以高为AM＝
22
12－5－2＝315(cm)．
l－12
(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO可得＝
l2. 5
∴l＝20(cm)．
即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
2
12．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．
解：圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm，3x cm，延长AA1交OO1的延长线于S.
在Rt△SOA中，∠ASO＝45°， 则∠SAO＝45°， ∴SO＝AO＝3x， ∴OO1＝2x.
1
又S轴截面＝(6x＋2x)·2x＝392，
2
∴x＝7.
∴圆台的高OO1＝14 cm，母线长l＝2OO1＝142 cm，两底面半径分别为7 cm,21 cm.
[优化方案]2024高中数学 第1章1.1.2知能优化训练 苏教版必修2
