即：a2?b2?(a?b)(a?b);a2?2ab?b2?(a?b)2
（3）十字相乘法：x2?(p?q)x?pq型式子的因式分解，
x2?(p?q)x?pq?x2?px?qx?pq?(x2?px)?(qx?pq)即：
?x(x?p)?q(x?p)?(x?p)(x?q)（4）分组分解法：利用分组来分解因式的方法。①分组后能直接提公因式；②分组后能直接运用公式；
七、因式分解的一般步骤
（1）多项式的各项有公因式时，先提公因式。
（2）各项没有公因式时，要看看能不能用公式法来分解。 （3）如果用上述方法不能分解因式，再看能不能运用分组分解法。 （4）分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。 八、整式的除法
单项式除以单项式，把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
多项式除以单项式，把这个多项式的每一项除以这个单项式，然后把所得的商相加。
第十章 分式
知识梳理
（一）知识要点： 1. 分式的概念：
AA、B表示两个整式，A÷B（B≠0）可以表示为B的形式，如果B中含有字母，那么我们把A式子B（B≠0）叫分式，其中A叫分子，B叫分母。
关于分式概念的两点说明：
i）分式的分子中可以含有字母，也可以不含字母，但分母中必须含有字母，这是分式与整
式的根本区别。
ii）分式中的分母不能为零，是分式概念的组成部分，只有分式的分母不为零，分式才有意义，因此，若分式有意义，则分母的值不为零（所谓分母的值不为零，就是分母中字母不能取使分母为零的那些值）反之，分母的值不为零时，分式有意义。 2. 分式的值为零
?分母的值不等于零?分式的值为零?分子的值等于零
3. 有理式的概念
??单项式整式??有理式??多项式??分式
4. 分式的基本性质
（1）分式的分子、分母乘同一个不等于零的整式，分式的值不变。
AA?M?(M?0)BB?M即
（2）分式的分子、分母除以同一个不等于零的整式，分式的值不变。
AA?M?(M?0)BB?M即
注：
（1）分式的基本性质表达式中的M是不为零的整式。
（2）分式的基本性质中“分式的值不变”表示分式的基本性质是恒等变形。
5. 分式的符号法则：分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。
6. 约分：把分式中分子和分母的公因式约去，叫约分。
注：约分的理论依据是分式的基本性质。 约分后的结果不一定是分式。 约分的步骤：
（1）分式的分子、分母能分解因式的分解因式写成积的形式。 （2）分子、分母都除以它们的公因式。
7. 最简分式：如果一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式就叫最简分式。 8. 分式的运算：
bdbd??acac （1）分式乘法：
bdbcbc????（2）分式除法：acadad
注：
i）分式的乘除法运算，归根到底是乘法运算。 ii）分式的乘法运算，可以先约分，再相乘。
iii）分式的分子或分母是多项式的先分解因式，再约分，再相乘。
bn?b????na（n为正整数） （3）乘方：?a?（4）通分：在不改变分式的值的情况下，把几个异分母的分式化为同分母分式的变形叫通
分。
注：分式通分的依据是分式的基本性质。
最简公分母：几个分式中各分母的数字因数的最小公倍数与所有字母（因式）的最高次幂的积叫这几个分式的最简公分母。
（5）分式的加减法：
naba?b??m 同分母：mmabanbman?bm????mnmnmnmn 异分母：
（6）混合运算：做分式的混合运算时，先乘方，再乘除，最后再加减，有括号先算括号内
的。
9. 分式方程：分母里含有未知数的方程叫分式方程。
注：分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别，分母中含未知数就是分式方程，否则就为整式方程。 10. 列分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程。 （2）列整式方程，求得整式方程的根。
（3）验根：把求得的整式方程的根代入A，使最简公分母等于0的根是增根，否则是原方程的根。
（4）确定原分式方程解的情况，即有解或无解。
11. 增根的概念：在分式方程去分母转化为整式方程的过程中，可能会增加使原分式方程中分式的分母为零的根，这个根叫原方程的增根，因此列分式方程一定要验根。
注：增根不是解题错误造成的。
12. 列方程解应用题步骤：审、设、列、解、验、答。 13、整数的负指数幂及其运算 零指数和负整数指数 规定a0?1,a?p?1 (a?0,p为正整数）ap第十一章 图形的平移与旋转
知识梳理
1.图形的平移
(1) 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称
为平移，平移不改变图形的形状和大小．
注意:①平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形
在同一平面内的变换．
②图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移 的依据．
③图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．
（2）平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个
方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 注意：①要正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征．
②“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．
（3）简单的平移作图
平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为：①图形原来的位置；②平移的
方向；③平移的距离．
2. 图形的旋转
（1）旋转的概念：图形绕着某一点（固定）转动的过程，称为旋转，这一固定点叫做旋
转中心。理解旋转这一概念应注意以下两点：①旋转和平移一样是图形的一种基本变换；②图形旋转的决定因素是旋转中心和旋转的角度．
（2）旋转的基本性质：图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点
到旋转中心的距离相等，对应线段、对应角都相等，图形的形状、大小都不发生变化．
（3）简单图形的旋转作图
两种情况：①给出绕着旋转的定点，旋转方向和旋转角的大小；
②给出定点和图形的一个特殊点旋转后的对应点．
作图步骤：①作出图形的几个关键点旋转后的对应点；
②顺次连接各点得到旋转后的图形．
（4）图案设计：图案的设计是由基本图形经过适当的平移、旋转、轴对称等图形的变换
而得到的。其中中心对称是旋转变换的一种特例。
旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角.（旋转角 00<
?<3600）.
中心对称图形：如果把一个图形绕着一个定点旋转1800后，与初始图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.
3.图形的翻折
图形的翻折
1、轴对称图形：把一个图形沿某一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
2、如果把一个图形沿某一条直线翻折，能与另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这条直
线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对应点。
第十二章 实数
知识梳理
1. 为什么学平方根、立方根： 2. 算术平方根的概念：
3. 算术平方根具有非负性： 4. 平方根的概念： 5. 平方根的特性： 6. 开平方： 7. 立方根概念： 8. 立方根的特性： 9. 开立方： 10. 实数的意义： 11. 实数的分类：
12. 实数范围内求相反数、倒数、绝对值： 13. 实数与数轴上的点是一一对应的： 14. 分数指数幂
知识归纳
一.实数的概念： 1.数的分类及概念
数系表：
正整数
0 整数
(有限或无限循环性数) 负整数 有理数
正分数 分数
负分数 实数
正无理数
无理数(无限不循环小数)
负无理数
说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏）
2）有标准
整数
有理数 分数 正数 2．非负数：正实数与零的统称。（表为：x≥0）
无理数
实数 0 常见的非负数有： 整数
有理数a 2(a为一切实数) 分数 负数 │a│
性质：若干个非负数的和为0，则每无理数
a(a≥0)
个非负数均为0。
初中数学知识点学习资料
