第9章 静电场中的导体和电介质
（2）RB?RA，外球壳在无穷远处时，C=4peRARB?4peRA RARB(1-)RB（3）A为导体球或A、B均为导体球壳结果如何？
3、圆柱形电容器
圆柱形电容器是两个同轴柱面极板构成的，如图所示，设A、B半径为RA、RB，电荷为+q，-q，除边缘外，电荷均匀分布在内外两圆柱面上，单位长柱面带电量
?q??，l是柱高。由高斯定理知，A、B内任一点P处El的大小为 E=l 2perRBurrUA-UB=蝌E?drRARBRBEdr=?RARARlldr=lnB 2per2peRAC=q=UA-UBqRllnB2peRA=2pel。 RBlnRA同样：电容只与电介质、电容器的形状、大小有关，与带电量无关。电介质能增大电容，降低极板电压。 总结：计算电容的一般步骤 (1) 设电容器两极板带有等量异号电荷q；
(2) 求出两极板之间电场的分布，先求真空中电场E0，再用E=电场分布
(3) 计算两极板之间的电势差UA-UB=(4) 根据电容器电容定义计算电容C=9.3.3 电容器的串联和并联
电容器有两个性能指标：容量和耐压值，如80V，50pF。在实际应用中，现成的电容器不一定能适合实际的要求，如电容大小不合适，或者电容器的耐压程度不合要求有可能被击穿等原因。因此有必要根据需要把若干电容器适当地连接起
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E0求介质中 eròBArrE?dl (关键)
q
UA-UB第9章 静电场中的导体和电介质
来。若干个电容器连接成电容器的组合，各种组合所容的电量和两端电压之比，称为该电容器组合的等值电容。 1、 串联：
几个电容器的极板首尾相接（特点：各电容的电量相同）。
设A、B间的电压为UA?UB，两端极板电荷分别为+q，-q，由于静电感应，其它极板电量情况如图，每个极板上所带电量相等。
UA?UB?由电容定义有
qqqq 。 ?????C1C2C3CnC?q1? 1111UA?UB?????C1C2C3Cn11111 ??????CC1C2C3Cn结论：电容器串联时等效电容的倒数等于各分电容电容倒数和。 等效电容小于任何一个电容器电容，可提高电容耐压能力。 2、 并联：
每个电容器的一端接在一起，另一端也接 在一起。（特点：每个电容器两端的电压相同， 匀为UA?UB，但每个电容器上电量不一定相等） 等效电量为：
q?q1?q2?q3???qn，
由电容定义有：
q1?q2?q3???qnqC???C1?C2?C3???Cn
UA?UBUA?UBC?C1?C2?C3???Cn 结论：电容器并联时，等效电容等于各电容器电容之和。耐压要求符合得前提下，
需要大电容量时可采用并联。
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第9章 静电场中的导体和电介质
例：半径为a的二平行长直导线相距为d（d>>a），二者电荷线密度为??，??，
试求（1）二导线间电势差；（2）此导线组单位长度的电容。
解：（1）如图所取坐标，P点场强大小为：
E?EA?EB?B?? ?2??0x2??0(d?x)aUAB?d?a??B??E?dx??Edx??[AA???]dx2??0x2??0(d?x)
d?a??xd?a[lnx?ln(d?x)]?lna2??02??0d?xa?d?ad?a?d?a?ln(?)?ln2??0aa??0aq??1??0??（2）C?
?d?ad?aUA?UBlnln??0aa?注意：（1）E?公式。
2??0r（2）此题的积分限，即明确导体静电平衡的条件。
9.3.5 电场能量
一个电中性的物体，周围没有电场，当把电中性物体的正、负电荷分开时，外力作了功，这时该物体周围建立了电场。所以，通过外力做功可以把其它形式能量转变为电能，贮藏在电场中。使一个系统带电，就是建立电场、储存电能的过程，如电容器充电过程。使某个带电体放电，就是把电能转化为其他形式的能的过程，如电容器放电过程。
今以带电电容器为例进行讨论。给电容器充电过程，其实是电源将负极板上正电荷搬运到正极板上，增大极板电量，提高极板电势差，建立电场的过程。
如图所示，设t时刻，两极板上电荷分 别为+q(t)和-q(t)，A、B间电势差为：
U=q(t) Cq(t)dq。 C再把电量dq从B移到A，外力做的功为
dA=Udq= 18
第9章 静电场中的导体和电介质
当A、B上电量达到+Q和-Q时，外力做的总功为：
QA=dA=蝌0q(t)1Q211dq==CU2=QU C2C22?外力功全部转化为带电电容器贮藏的电能We， ?电容器储存的电能为：
1Q211We==CU2=QU
2C22eS平行板电容器：?U=Ed,C=
d1?S22121Ed??ESd??E2V(V?Sd:电容器体积) ?We?2d22因为场强为匀强电场，We应均匀分布，故单位体积内能量，即能量密度为
W121??E?DE we?V22121rr we=eE=D?E
22说明：
1Q211=CU2=QU适用于任何电容器； （1）We=2C22W121we???E?DE适用于任何电场。
V22（2）对任一带电系统整个电场能量为 We?wedV?(DE)dV?VV??1212?EdV。 ?2V（3）能量存在是由于电荷的存在，电荷是能量的携带者，但（2）式表明，能量是
存在于电场中，电场是能量的携带者。在静电场中能量究竟是电荷的携带的还是电场携带的，是无法判断的。因为在静电场中，电场和电荷是不可分割地联系在一起的，有电场必有电荷，有电荷必有电场，而且电场与电荷之间有一一对应关系，因而无法判断能量是属于电场还是属于电荷。但是，在电磁波情形下就不同了，电磁波是变化的电磁场的传播过程，变化的电场可以离开电荷而独立存在，没有电荷也可以有电场，而且场的能量能够以电磁波的形式传播，这一事实证实了能量是属于电场的，而不是属于电荷的。
例：无限长圆柱形电容器是由半径为R1的导体圆柱和同轴的导体组成的，（1）电
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第9章 静电场中的导体和电介质
1Q2容器上具有的电场能量；（2）证明：We?，Q、C分别为l长导体
2C上电量及l长电容器电容。
解：如图所取坐标，原点在圆柱轴线为r轴。由题已知，其场是轴对称的，由高斯定理知，介质内任一点 P的场强大小为 E?D???（介质外E=0） 2??r在半径为r，厚为dr ，高为l的薄圆筒内，电场能量为
12?E?2?rRdr2 221??l???2?rRdr?dr22224??r4??rR2?2l?2lR2dr?ln所求能量为：We??wedV??。 4??r4??R1R1dWe?wedV?证明：
??R2?R?U1?U2??E?dr??dr?ln2
2??r2??R1R1R1R2C?Q?l2??l??
?R2R2U1?U2lnln2??R1R11Q211?2lR22?(?l)??ln?We
2??l2C24??R1Rln2R1例：有一个均匀带电荷为Q的球体，半径为R，试求电场能量。 解：由高斯定理知，场强为
?Qr(r?R)3??4??0R E??Q?(r?R)2??4??0r在半径为r ,厚为dr的球壳内，能量为：
dWe?wedV?we4?r2dr 12222??0E?4?rdr?2??0Erdr2 20
第9章 静电场中的导体和电介质
所求能量为：
RWe??wedV??2??0[V0Q4??0R3??r]rdr??2??0[R222Q4??0r22]r2dr2?Q2R4r?dr?08??0R6Q8??021QQ13Q5dr?R??()26?8??0R4??05R40??0RRr
注意：（1）dWe表达式建立；（2）积分分段。
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第9章 - 静电场中的导体和电介质讲解
