24.7.2弧长和扇形面积
【学习目标】
1．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题；
2．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力；
3．让学生先观察实物，再想象结果，最后经过实践得出结论，通过这一系列活动，培养学生的观察、想象、实践能力，同时训练他们的语言表达能力，使他们获得学习数学的经验，感受成功的体验． 【学习重难点】
重点：了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题． 难点：了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题． 【课前预习】
nπR
1．弧长公式：C1＝(其中圆心角为n°，半径为R)．
180
nπR21
2．扇形面积公式：S扇＝＝C1R(其中圆心角为n°，半径为R，弧长为C1)．
36023．圆柱的上下底面圆周上对应两点的连线叫做圆柱的母线． 4．圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线叫做圆锥的母线．
5．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，圆锥的侧面展开图是一个扇形．设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，因此圆锥的侧面积为πrl.
【课堂探究】
1．圆锥的有关计算
【例1】一个圆锥的高为3 cm，侧面展开图是半圆，求：
(1)圆锥的母线与底面半径之比；
(2)圆锥的表面积．
分析：欲求圆锥的侧面积，需求母线长l，底面半径r.由圆锥的形成过程可知，圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形，即Rt△AOC，且AC＝l，AO＝h＝3，OC＝r，其侧面展
开图是半圆，可得关系l＝2r.
解：如图，设圆锥的轴截面为△ABC，过A作AO⊥BC于O，
设母线长AB＝l，底面⊙O的半径为r，高AO＝h.
(1)∵圆锥的侧面展开图是半圆，
∴展开图的扇形的弧长
1l
L＝2πr＝×2πl＝πl，＝2.
2r
(2)在Rt△ABO中，
2
∵l＝r＋h，l＝2r，h＝3 cm，
∴(2r)＝3＋r.
2
2
2
22
∵r为正数，解得r＝3(cm)，l＝2r＝23(cm)．
1212222
S表＝S侧＋S底＝πl＋πr＝π×(23)＋π×(3)＝9π(cm)．
22
点拨：圆锥的母线长l、底面半径r、高h的关系可以在它的轴截面上形成直角三角形，
其关系是l＝r＋h.2．圆锥的展开图
2
2
2
【例2】 如图，已知圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，在圆锥的一条母线SA的中点C处有一只蚊子，在点A处有一只壁虎，为避免被蚊子发现，壁虎绕着圆锥表面爬行一圈到
SA的中点C捕捉蚊子，试求壁虎爬行的最短距离．
分析：欲求圆锥侧面上两点之间的距离，可将其侧面展开成平面图形，然后再求出平面
上相应的两点之间的距离．
解：将圆锥沿着母线SA展开得展开图如图所示，取SA1的中点C，连接AC，则AC是壁
虎爬行的最短路线．设展开图的圆心角的度数是n°.
因为圆锥的底面周长是展开的扇形的弧长，
nπ×4
所以2π×1＝，所以n＝90，即∠S＝90°.
180
在Rt△ASC中，SC＝2，SA＝4，AC＝SC2＋SA2＝22＋42＝25.
所以壁虎爬行的最短距离为25.
点拨：对于圆锥侧面上两点之间的最短距离问题，首先将侧面展开，将空间问题转化为
【课后练习】
1．一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是( )．D． 2π
C．3 π
B．4 π
2
平面问题．
A．5π 答案：C
2．已知圆锥的侧面积为8πcm，侧面展开图的圆心角为45°，则该圆锥的母线长为
B． 8 cm
( )．
A．64 cm C．22 cm
答案：B
2
D. cm 4
3．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆
的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则r与R之间的关系是( )．
B．R＝ 3r D．R ＝4r
A．R＝2r C．R＝3r
答案：D
4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3.将△ABC绕AC所在的直线f旋转一
周得到一个旋转体，求该旋转体的侧面积．(π取3.14，结果保留两个有效数字)
解：旋转体的侧面积即所围成圆锥的侧面积，圆锥的底面半径是3，母线长是5，
1
S＝×2×π×3×5＝15π≈47.2
九年级数学下册24.7弧长与扇形的面积24.7.2弧长与扇形面积导学案新版沪科版
