第7讲 计数原理与排列组合
1.(2016年四川)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为( ) A.24 B.48 C.60 D.72
2.(2016年新课标Ⅱ)如图X9-7-1,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一
起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
图X9-7-1
A.24条 B.18条 C.12条 D.9条
3.若原来站成一排的4个人重新站成一排,恰有一个人站在自己原来的位置上,则不同的站法种数为( )
A.4 B.8 C.12 D.24
4.(2014年重庆)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( )
A.72种 B.120种 C.144种 D.168种
5.(2015年四川)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有( )
A.144个 B.120个 C.96个 D.72个
6.将A,B,C,D,E这5名同学从左至右排成一排,则A与B相邻且A与C之间恰好有一名同学的排法有( )
A.18 B.20 C.21 D.22
7.(2024年云南昆明模拟)用1,2,3,4,5这5个数字组成无重复数字的五位数,然后由小到大排列,则42351是第( )个数.
A.80 B.81 C.82 D.83
8.6名同学站成一排照相,要求甲不站在两侧,而且乙和丙相邻、丁和戊相邻,则不同的站法种数为( )
A.60 B.96 C.48 D.72
9.(2016年东北三省三校一模)数学活动小组由12名同学组成,现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题,且每组只研究一个课题,并要求每组选出一名组长,则不同的分配方案的种数为( )
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C312C9C64334A.A4 B.C312C9C63 A3333C12C39C63333C.4 D.C312C9C64 A44
10.(2017年浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有______种不同的选法.(用数字作答)
11.(2017年天津)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有__________个.(用数字作答)
12.(2024年浙江宁波模拟)如图X9-7-2,矩形的对角线把矩形分成A,B,C,D四部分,
现用5种不同颜色给四部分涂色,每部分涂1种颜色,要求共边的两部分颜色互异,则共有________种不同的涂色方法.
图X9-7-2
13.高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班级去,每班去何工厂可自由选择,则不同的分配方案有( )
A.16种 B.18种 C.37种 D.48种
14.某学校获得5个高校自主招生推荐名额,其中甲大学2名,乙大学2名,丙大学1名,并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加,学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象,则不同的推荐方法共有( )
A.36种 B.24种 C.22种 D.20种
15.将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的盒子中,每个盒子至少有1个小球,那么甲盒中恰好有3个小球的概率为( )
3231A. B. C. D. 105204
第7讲 计数原理与排列组合
1.D 2.B
3.B 解析:根据题意,分两步考虑:第一步,先从4个人里选1人,其位置不变,其他3人都不站在自己原来的位置上,站法有C14=4(种);第二步,对于都不站在自己原来的位置上的3个人,有2种站法.故不同的站法共有4×2=8(种).故选B.
4.B 5.B
2·6.B 解析:当A,C之间为B时,看成一个整体进行排列,共有A2A33=12种,当A,
C之间不是B时,先在A,C之间插入D,E中的任意一个,然后B在A之前或之后,再将这四个人看成一个整体,与剩余一个进行排列,共有C1A2A2 2·2·2=8种,∴共有20种不同的排法.
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7.C 解析:万位取1,2,3时,共有A3·A4=72(个). 万位取4时,分两种情况: (1)41×××,此时有A33=6(个); (2)42×××,此时又分两类. ①421××时,有A22=2(个);
②423××时,只有一个数42 315小于42 351.
∴小于42 351的数共有72+6+2+1=81(个),从而42 351是第82个数. 8.C 解析:把乙和丙,丁和戊看作两个整体,和己进行全排列有A33种方法,∵甲不站
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在两侧,再把甲插入他们形成的中间两个空中,故有A3A2种方法,再考虑乙和丙、丁和戊的
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排列可得不同的站法种数为A33A2A2A2=48.故选C.
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C312C9C6
9.B 解析:将12名同学平均分成四组,共有,分别研究四个不同课题,共有
A44
3333C3C312C9C612C9C6444×34=C3C3C334种.×A4,从四组中每组选出一名组长,共有3,共计×A4故129644A4A4选B.
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10.660 解析:第一类,先选1女3男,有C6C2=40种, 这4人选2人作为队长和副队有A24=12种,故有40×12=480种;
22第二类,先选2女2男,有C26C2=15种,这4人选2人作为队长和副队有A4=12种,
故有15×12=180种;
根据分类计数原理共有480+180=660种. 11.1080 解析:根据题意,分2种情况讨论: ①四位数中没有一个偶数数字,即在1,3,5,7,9中任选4个,组成一个四位数即可.有A45=120种情况,即有120个没有一个偶数数字的四位数;
②四位数中只有一个偶数数字,
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在1,3,5,7,9种选出3个,在2,4,6,8中选出1个,有C14C5=40种取法, 将取出的4个数字全排列,有A44=24种顺序, 则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数.
综上所述,至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个.
12.260 解析:区域A有5种涂色方法;区域B有4种涂色方法;区域C的涂色方法可分2类:若C与A涂同色,区域D有4种涂色方法;若C与A涂不同色,此时区域C有3种涂色方法,区域D也有3种涂色方法.∴共有5×4×4+5×4×3×3=260(种)涂色方法.
13.C 解析:自由选择去四个工厂有43种方法,甲工厂不去,自由选择去乙、丙、丁三个工厂有33种方法,故不同的分配方案有43-33=37(种).
14.B 解析:解法一:若甲大学和乙大学的推荐名额分别为两男、一男一女,选择两男
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为一组,再从两个女生中抽一个与剩下的一个男生组成一组,共有C23C2种分组方法,此时,
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有C23C2A2=12种推荐方法;若甲大学和乙大学的推荐名额分别是一男一女,先考虑甲大学的
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推荐方法,有C13C2=6种方法,其次考虑乙大学的推荐名额,有C2=2种推荐方法.因此,共有12+12=24种推荐方法,故选B.
解法二:若不考虑任何限制,先考虑甲大学的推荐方法,有C25=10种推荐方法,其次考