课时跟踪检测（十六） 一元二次不等式的解法及其应用
（习题课）
层级一 学业水平达标
1．若a<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是____________． 解析：x2－4ax－5a2>0化为(x－5a)(x＋a)>0， ∵a<0，∴5a<－a. ∴x>－a或x<5a.
★答案☆：{x|x<5a或x>－a} 2．已知a<0，则关于x的不等式解析：不等式
ax
>1 的解集是________． x－2
?a－1?x＋2ax
>1可化为>0， x－2x－2
2
不等式等价于(a－1)?x－1－a?(x－2)>0.
??
∵a<0，
2
∴不等式等价于?x－1－a?(x－2)<0.
??
∵
2<2. 1－a
?2?
∴原不等式的解集为?x?1－a ????2? ★答案☆：?x?1－a ??? ?? ?. ?? ?? ? ?? 3．如果A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝?，则实数a的取值范围为________． ??a>0， 解析：当a＝0时，有1<0，故A＝?成立；当a≠0时，要使A＝?，须满足? ?Δ＝a2－4a≤0，? ∴0 ★答案☆：[0,4] 2??x－1≥a， 4．关于x的不等式组?有解，则实数a的取值范围是________． ?x－4<2a?2??x≥a＋1， 解析：由已知得?若不等式组有解， ?x<2a＋4? ∴2a＋4>a2＋1，即a2－2a－3<0.∴－1 5．已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立， 则实数a的取值范围是________． 解析：x2－ax＋2a>0恒成立?Δ<0，即a2－4×2a<0，解得0 6．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是________． 解析：原不等式即(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，1 ★答案☆：[－4,3] 7．不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为________． 解析：x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4. ★答案☆：[－1,4] 2x2＋2mx＋m8．如果不等式<1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是________． 4x2＋6x＋333 2x＋?2＋>0对一切x∈R恒成立，从而原不等式等价于2x2解析：由4x2＋6x＋3＝?2?4?＋2mx＋m<4x2＋6x＋3?2x2＋(6－2m)x＋(3－m)>0对一切实数x恒成立?Δ＝(6－2m)2－8(3－m)＝4(m－1)(m－3)<0，解得1 ★答案☆：(1,3) 9．已知对任意x∈(0，＋∞)不等式x2－ax＋2>0恒成立，求实数a的取值范围． 解：令 f(x)＝x2－ax＋2＝ ?x－a?2＋2－a， ?2?4 2 (1)当a≤0时f(x)在(0，＋∞)为单调递增的． f(0)＝2>0，故a≤0时，x2－ax＋2>0恒成立． a (2)当a>0时f(x)＝x2－ax＋2的对称轴为x＝. 2∴当x∈(0，＋∞)时， a2 f(x)min＝2－. 4 若x2－ax＋2>0在x∈(0，＋∞)恒成立， a2 只要2－>0即可，∴0 4 综上，若x2－ax＋2>0在(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围为(－∞，22)． 10．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}． (1)求a，b； (2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0. 解：(1)∵不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}， ∴x＝1与x＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1.由根与系数的关系， ?1＋b＝a，得?2 1×b＝，?a 3 ??a＝1， 解得? ?b＝2.? (2)原不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，可化为x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0. ①当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2 综上所述，当c>2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|2 层级二 应试能力达标 1．不等式x2－2x＋3≤a2－3a－2在R上的解集为?，则实数a的取值范围是________． 解析：∵x2－2x－(a2－3a－5)≤0的解集为?， ∴Δ＝4＋4(a2－3a－5)<0，∴a2－3a－4<0， ∴－1 2．对任意a∈[－2,3]，不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0恒成立，则x的取值范围为____________． 解析：设f(a)＝x2＋(a－6)x＋9－3a ＝(x－3)a＋x2－6x＋9， 由已知条件得 2??f?－2?＝－2x＋6＋x－6x＋9>0， ? 2－6x＋9>0，?f?3?＝3x－9＋x? 2???x－8x＋15>0，?x<3或x>5，?即2∴? ?x－3x>0.???x<0或x>3. ∴x<0或x>5.即x的取值范围为(－∞，0)∪(5，＋∞)． ★答案☆：(－∞，0)∪(5，＋∞) 3．关于x的不等式ax2＋2x＋a>0的解集为R，则实数a的取值范围是________． 解析：当a＝0时，易知条件不成立； 当a≠0时，要使不等式ax2＋2x＋a>0的解集为R， ?a>0，?必须满足?解得a>1. ??Δ＝4－4a2<0， ★答案☆：(1，＋∞) 4．关于x的不等式 2 x2＋ax＋ a2 －c<0的解集为(m，m＋6)，则实数c＝________. 4 aa2aa?c－a?－?－c－a?x＋?2 ★答案☆：9 5．在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x都成立，则a的取值范围为________． 解析：(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x成立， 即(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x成立． ∴x2－x－a2＋a＋1>0恒成立， 13 ∴Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，∴－ 2213 －，? ★答案☆：??22? m2x－1 6．若<0(m≠0)对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是________． mx＋1解析：因为m≠0，所以分两种情况讨论： 11 －m，2?，显然不适合题意； (1)m>0，不等式的解集是?m??(2)m<0， (ⅰ)当m＝－1时，不等式化为－(x－1)2<0，对于x≠1均成立； mx－111 －∞，－?∪?2，＋∞?，要使不等式(ⅱ)当－1 m2 111 －∞，2?∪?－，＋∞?，所以－≤4恒成立． (ⅲ)当m<－1时，不等式的解集是?m??m??m1－∞，－?. 综上，实数m的取值范围是?2??1 －∞，－? ★答案☆：?2?? 7．某公司按现有能力，每月收入为70万元，公司分析部门测算，若不进行改革，因竞争加剧收入将逐月减少，分析测算得从2015年开始第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元，如果进行改革，即投入技术改造300万元，且2015年后每月再投入1万元进行员工培训，且测算得自2015年后第一个月起累计收入Tn与时间n(以月为单位)的关系为Tn＝an＋b，且2015年第一个月时收入将为90万元，第二个月时累计收入为170万元， 2 问2015年后经过几个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入． 解：2015年改革后经过n个月的纯收入为(Tn－300－n)万元，公司若不进行改革，由题设知2015年后因竞争加剧收入将逐月减少． 分析测算得2015年第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元．所以不改革，第一个月：70－3－2×(1－1)， 第二个月：70－3－2(2－1)， 第三个月：70－3－2(3－1)， … 第n个月：70－3－2(n－1)， 所以不改革时的纯收入为：70n－?3n＋ ? n?n－1?? ·2万元， 2? ???90＝a＋b，?a＝80， 由题设知?所以? ?170＝2a＋b，???b＝10， 由题意建立不等式：80n＋10－300－n>70n－3n－(n－1)n， 整理，得n2＋11n－290>0，得n>12.4， 因为n∈N，故取n＝13. 答：经过13个月改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入． 8．已知不等式mx2－2x－m＋1<0， (1)若对任意实数x不等式恒成立，求m的取值范围． (2)若对一切m∈[－2,2]不等式恒成立，求x的取值范围． 解：(1)不等式mx2－2x－m＋1<0恒成立， 即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方． 当m＝0时，不等式变为1－2x<0，对任意实数x不恒成立，故m＝0不满足；
高中数学三维设计苏教版必修5：(十六) 一元二次不等式的解法及其应用 (习题课)
