第二章基础知识检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．以a＝(－1,2)，b＝(1，－1)为基底表示c＝(3，－2)为( ) A．c＝4a＋b C．c＝4b [答案] B
B．c＝a＋4b D．c＝a－4b
???－x＋y＝3，?x＝1，[解析] 令c＝xa＋yb，得?∴?
??2x－y＝－2，??y＝4，
即c＝a＋4B．
2．下列说法正确的是( ) A．两个单位向量的数量积为1 B．若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c →→→
C．AB＝OA－OB
D．若b⊥c，则(a＋c)·b＝a·b [答案] D
[解析] A中两向量的夹角不确定；B中若a⊥b，a⊥c，b与c反方向则不成立；C中→→→
应为AB＝OB－OA；D中b⊥c?b·c＝0，所以(a＋c)·b＝a·b＋c·b＝a·B．
3．设向量a与b的夹角为θ，a＝(2,1)，a＋2b＝(4,5)，则cosθ＝( ) A．
10
10
310B．
104D．
5
3C． 5[答案] D
1
[解析] 由已知条件知b＝[(4,5)－a]＝(1,2)，
2a·b44
∴cosθ＝＝＝.
|a||b|5×55
4．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，m)，若a与a＋2b垂直，则m的值为( )
1A． 21C．－
2[答案] D
B．1 D．－1
[解析] ∵a＋2b＝(1,3)＋2(－2，m)＝(－3,3＋2m)， ∵a与a＋2b垂直．
∴1×(－3)＋3(3＋2m)＝0，∴m＝－1.
5．(2014·新课标Ⅱ理，3)设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝( ) A．1 C．3 [答案] A
[解析] 本题考查平面向量的模，平面向量的数量积．
∵|a＋b|＝10，|a－b|＝6，∴a2＋b2＋2a·b＝10，a2＋b2－2a·b＝6. 联立方程解得a·b＝1，故选A．
6．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝13，则|b|等于( ) A．5 C．3 [答案] B
[解析] ∵|a＋b|＝13，
∴(a＋b)2＝13，即a2＋2a·b＋b2＝13，也就是|a|2＋2|a||b|cosθ＋|b|2＝13. 将θ＝120°，|a|＝3，代入可得|b|2－3|b|－4＝0. 解之，得|b|＝4或|b|＝－1(舍去)．
7．a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于( ) 8A． 6516C． 65[答案] C
[解析] 由题可知，设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以可以解得x＝－a·b16
5，y＝12，故b＝(－5,12)，从而cos〈a，b〉＝＝.
|a||b|65
8B．－ 6516D．－ 65B．4 D．1 B．2 D．5
8．已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则( ) A．a⊥e C．e⊥(a－e) [答案] C
[解析] 由条件可知|a－te|2≥|a－e|2对t∈R恒成立，又∵|e|＝1， ∴t2－2a·e·t＋2a·e－1≥0对t∈R恒成立， 即Δ＝4(a·e)2－8a·e＋4≤0恒成立． ∴(a·e－1)2≤0恒成立， 而(a·e－1)2≥0，∴a·e－1＝0.
即a·e＝1＝e2，∴e·(a－e)＝0，即e⊥(a－e)．
→→
9．在△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB．若CB＝a，CA＝b，|a|＝1，|b|＝2，→
则CD＝( )
12A．a＋b
3334C．a＋b
55[答案] B
→→
[解析] 由角平分线的性质得|AD|＝2|DB|， →2→2→→2
即有AD＝AB＝(CB－CA)＝(a－b)．
333
221→→→
从而CD＝CA＋AD＝b＋(a－b)＝a＋B．故选B．
333
10．已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )
A．1 C．2 [答案] C
[解析] 由(a－c)·(b－c)＝0得
a·b－(a＋b)·c＋c2＝0，即c2＝(a＋b)c， 故|c|·|c|≤|a＋b|·|c|， 即|c|≤|a＋b|＝2，故选C．
B．a⊥(a－e) D．(a＋e)⊥(a－e)
21
B．a＋b
3343D．a＋b
55
B．2 D．
2 2
11．(2014·四川理，7)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝( )
A．－2 C．1 [答案] D
[解析] 本题考查了平面向量的坐标运算以及向量的夹角公式． c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)， a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20.
5m＋88m＋20a·cb·c
由两向量的夹角相等可得＝，即为＝，解得m＝2.
|a||b|520π
12．已知向量a＝(2cosθ，－2sinθ)，θ∈(，π)，b＝(0,1)则向量a与b的夹角是( )
23πA．－θ
2π
C．θ－
2[答案] A
[解析] 本题可以用向量的坐标运算和向量数量积的概念求解．即 a·b－2sinθ
cos〈a，b〉＝＝＝－sinθ，
|a|·|b|2·13
∵0<〈a，b〉<π，∴cos〈a，b〉＝cos(π－θ)，
23
∴〈a，b〉＝π－θ.
2
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) →→→
13．已知平面向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则实数k＝________.
[答案] 11或－2
→→
[解析] AB＝(4－k，－7)，AC＝(10－k，k－12)． ∵A，B，C三点共线， ∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0， ∴k2－9k－22＝0，∴k＝11或k＝－2.
B．－1 D．2
πB．＋θ
2D．θ
14．(2014·北京理，10)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.
[答案]
5
[解析] 本题考查了平面向量的坐标运算与数量积的运算． 由λa＋b＝0，有b＝－λa，于是|b|＝|λ|·|a|， 由b＝(2,1)，可得|b|＝5， 又|a|＝1，故|λ|＝5.
115．(2015·浙江文，13)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝，若平面向量b满足b·e1
2＝b·e2＝1，则|b|＝________.
[答案]
23
3
13
[解析] 由题可知，不妨设e1＝(1,0)，e2＝(，)，设b＝(x，y)，则b·e1＝x＝1，b·e2
22133
＝x＋y＝1，所以b＝(1，)，所以|b|＝223
16.
如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过O的直线分别交直线AB，AC于不同→→→→
的两点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为________．
1231＋＝. 33
[答案] 2
→1→→1→→m→n→
[解析] 连接AO，∵AO＝(AB＋AC)＝(mAM＋nAN)＝AM＋AN，
2222m→n→→→→→m→n→
∴OM＝AM－AO＝AM－AM－AN＝(1－)AM－AN.
2222→→→→→→→
NM＝AM－AN，这样OM与NM都可以用AM，AN表示出来． →→→→
又因为OM与NM共线，利用共线向量定理得OM＝λNM， m→n→→→即(1－)AM－AN＝λAM－λAN，
22
成才之路高二数学北师大必修同步训练：第二章 平面向量 基础知识检测 含解析
