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考点七 指数与指数函数
知识梳理
1．根式
如果a＝xn，那么x叫做a的n次实数方根(n>1且n∈N*)，当n为奇数时，正数的n次实数n方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数，记为：a；当n为偶数时，正数的nnn次实数方根有两个，它们互为相反数，记为：±a.式子a叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. (1)两个重要公式
a（n为奇数），??n?① a＝? ?a（a≥0），?|a|＝（n为偶数）；??－a（a<0）??nn② (a)n＝a(注意a必须使a有意义)． (2)0的任何次方根都是0． (3)负数没有偶次方根． 2．分数指数幂 (1)分数指数幂的概念：
n①正分数指数幂：a＝am(a>0，m，n∈N*，且n>1)． ②负分数指数幂：a
?mnmn＝1
m＝1nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
an③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质： ①aras＝ars(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ar s(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂ar(a>0，r是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 4．指数函数的图象与性质
y＝ax a>1 0 高中数学教师解题研究群群：625972323，每天都有更新，无限下载数学教学资料 图象 定义域 值域 R (0，＋∞) 过点(0,1)，即x＝0时y＝1 性质 当x>0时，y>1； 当x<0时，0 题型一 指数幂的化简与求值 例1 答案 －3 解析 . 的值是 ． 变式训练 下列各式正确的是 ．(填序号) ① 答案 正确． ② ④a0＝1 解析 根据根式的性质可知 ，a＝1条件为(a≠0)，故①、②、④错． 例2 化简或求值 (1)(2) ?a·b? 6 23－1 ?12·a ?12·b 13 a·b5 . 解析 (1)原式= = a (2)原式＝ ?13b·aab 1612?5612b 13＝a 111???326·b 115??2361＝. a 解题要点 指数幂运算的一般原则 高中数学教师解题研究群群：625972323，每天都有更新，无限下载数学教学资料 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 题型二 指数函数的图象和性质 例3 函数f(x)＝ax序号) －b 的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是 ．(填 ① a>1，b<0 ② a>1，b>0 ③ 0 －b －b 的图象可以观察出函数f(x)＝ax －b 在定义域上单调递减，所以0 的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0. 恒过的定点为 ． 变式训练 指数函数y=答案 (，2) 解析 由函数y=ax恒过(0，1)点, 可得当3x－2=0，即故函数恒过点(，2). 故答案为：(，2)． 题型三 指数值的大小比较 时，y=2恒成立, 例4 设 答案 y1＞y3＞y2 解析 ，则y1、y2、y3 的大小关系是 ． ． 因为函数y=2x在定义域上为单调递增函数，所以y1＞y3＞y2． 变式训练 若 答案 (－∞，－3) 解析 原不等式可化为 ，则x的取值范围是 ． ，而指数函数y=是定义在R上的减函数,
艺术生高考数学专题讲义：考点7 指数与指数函数
