【方法综述】
对于临界知识问题，其命题大致方向为从形式上跳出已学知识的旧框框，在试卷中临时定义一种新知识，要求学生快速处理，及时掌握，并正确运用，充分考查学生独立分析问题与解决问题的能力，多与函数、平面向量、数列联系考查.
另外，以高等数学为背景，结合中学数学中的有关知识编制综合性问题，是近几年高考试卷的热点之一，常涉及取整函数、最值函数、有界函数、有界泛函数等. 【解题策略】
类型一 定义新知型临界问题
【例1】用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝{C?A??C?B?,C?A??C?B?C?B??C?A?,C?A??C?B? 若A＝{1,2}，
B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于( ) A． 1 B． 3 C． 5 D． 7
【指点迷津】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 【举一反三】
1.【北京市顺义区2019届高三第二次统练】已知集合
，使得
；
，若对于
，
成立，则称集合是“互垂点集”．给出下列四个集合：
；
；
．其中是“互垂点集”集合的为( )
A．
B．
C．
D．
，存在
2.【陕西省2019届高三第二次检测】已知集合
，使得
①③
② ④
，若对于任意
成立，则称集合是“垂直对点集”.给出下列四个集合：
其中是“垂直对点集”的序号是________.
1
类型二 高等数学背景型临界问题
【例2】设S是实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a＋b3|a，b为整数}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S?T?R的任意集合T也是封闭集．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)
【举一反三】【湖南省衡阳市2019届高三二模】若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域，则称这两函数为“亲密函数”.下列三个函数是亲密函数的个数为（ ） ．A．0
类型三 立体几何中的临界问题
立体几何的高考题中，最主要考查点是几何元素位置关系及角、距离的计算、三视图等，除此之外，还有可能涉及到与立体几何相关的临界知识，如立体几何与其他知识的交汇，面对这些问题，需要有较强的分析判断能力及思维转换能力，还需要我们对这些问题作一些分析归类，加强知识间的联系，才能让所学知识融会贯通.
【例3】点P为棱长是3的正方体ABCD?A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点P满足BP?AC1，则动点P的轨迹的长度为__________．
【举一反三】已知正方体ABCD?A1B1C1D1的体积为1，点M在线段BC上（点M异于B、C两点），点N为线段CC1的中点，若平面AMN截正方体ABCD?A1B1C1D1所得的截面为四边形，则线段BM的取值范围为（ ）
A． ?0,? B． ?0,? C． ?,1? D． ?,1?
?3??3??2??2?
【强化训练】 一、
选择题
2，3，
，集合
是集合A的子集，若
2
，，中，与函数
不．
B．1 C．2 D．3
?1??1??2??1?1.已知集合
A．9
且
B．10
2，，，满足集合B的个数记为C．11
D．12
，则 2．【河南省郑州市2019年高三第二次质量检测】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设斯函数.例如：A．
B．
，
，已知函数
C．
，用
表示不超过的最大整数，则
的值域为（ ）
，x∈A，y∈B｝，
称为高
，则函数
D．
3．【河南省南阳市第一中学2019届高三第十四次考】定义集合运算：A⊙B=｛设集合A=｛A．1
，0，1｝，B=｛
B．0
｝，则集合A⊙B的所有元素之和为（ ）
C．
D．
，如
4.【广西壮族自治区柳州市2019届高三3月模拟】 定义：则A．0
（ ） B．
C．
，
D．1
图象上存在两个点A，B关于原点对称，则点
5．【北京市门头沟区2019年3月高三综合练习】若函数对
称为函数
的“友好点对”且点对
与
可看作同一个“友好点对”若函数
其中e为自然对数的底数，恰好有两个“友好点对”则实数m的
取值范围为 A．
B．
C．
D．
6．【江西省上高县第二中学2019届高三3月月考】定义：若数列
为常数，则称对任意的正整数，都有
中，
为“绝对和数列”，叫做“绝对公和” ．已知“绝对和数列”
的最小值为（ ） C．
D．
，绝对公和为3，则其前2019项的和A．
B．
7．【四川省凉山州2019届高三二诊】我们把学家）.设
，
，，，
表示数列
叫“费马数”（费马是十七世纪法国数
的前项之和，则使不等式
成立的最小正整数的值是（ ）
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专题7.3 临界知识问题 高考数学选填题压轴题突破讲义
