第1讲 数列、等差数列与等比数列(小题)
热点一 等差数列、等比数列的基本运算 1.等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*) 等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d; 等比数列的通项公式:an=a1·qn1. 等差数列的求和公式:Sn=
n?a1+an?n?n-1?
=na1+d; 22
n
-
a1?1-q?a1-anq??=,q≠1,
1-q等比数列的求和公式:Sn=?1-q
??na1,q=1.2.等差数列、等比数列问题的求解策略
(1)抓住基本量,首项a1、公差d或公比q;
(2)熟悉一些结构特征,如前n项和为Sn=an2+bn(a,b是常数)的形式的数列为等差数列,通项公式为an=p·qn1(p,q≠0)的形式的数列为等比数列;
(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置,所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算.
例1 (1)(2019·福建省永春一中、培元中学、季延中学、石光中学四校联考)已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=156,a2+a4+a6=147,{an}的前n项和为Sn,则使得Sn达到最大值时n的值为________.
(2)(2019·咸阳模拟)正项等比数列{an}中,存在两项am,an,使得am·an=2a1,且a6=a5+2a4,19
则+的最小值是________. mn
跟踪演练1 (1)(2019·长春模拟)等差数列{an}中,Sn是它的前n项和,若a2+a3=10,S6=54,则该数列的公差d为( ) A.2 B.3 C.4 D.6
(2)(2019·吕梁模拟)Sn为等比数列{an}的前n项和,a2=1,a25=2a7,则S6等于( ) 6331A.31 B. C.63 D. 22
(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=9,a5=1,则使得Sn>0成立的n的最大值为________.
热点二 等差数列、等比数列的性质
1.通项性质:若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则对于等差数列,有am+an=ap+aq=2ak,对于等比数列有aman=apaq=a2k. 2.前n项和的性质:
(1)对于等差数列有Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等差数列;对于等比数列有Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等比数列(q=-1且m为偶数情况除外). (2)对于等差数列,有S2n+1=(2n+1)an+1.
例2 (1)(2019·潍坊模拟)在等差数列{an}中,若a2+a5+a8=42,则数列{an}的前9项和S9等于( )
A.126 B.130 C.147 D.210
2
(2)(2019·西安陕师大附中、西安高级中学等八校联考)已知函数f(x)=(x∈R),若等比数
1+x2列{an}满足a1a2 019=1,则f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2 019)等于( ) 2 0191
A.2 019 B. C.2 D.
22
(3)已知数列{an}的各项都为正数,对任意的m,n∈N*,am·an=am+n恒成立,且a3·a5+a4=72,则log2a1+log2a2+…+log2a7=________.
-
跟踪演练2 (1)(2019·鞍山模拟)等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn与Tn,若对一切自Sn2na6然数n,都有=,则等于( )
Tn3n+1b6292011
A. B. C. D. 3143117
a2 018-a2 016(2)已知等比数列{an}中,a5=2,a6a8=8,则等于( )
a2 014-a2 012A.2 B.4 C.6 D.8
(3)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且S10=10,S30=130,则S40等于( ) A.-510 C.400或-510
B.400 D.30或40
热点三 等差数列、等比数列的综合问题 解决数列的综合问题的失分点
(1)公式an=Sn-Sn-1适用于所有数列,但易忽略n≥2这个前提;
a1?1-qn?
(2)对含有字母的等比数列求和时要注意q=1或q≠1的情况,公式Sn=只适用于1-qq≠1的情况.
例3 (1)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a3+S5=18,a5=7.若a3,a6,am成等比数列,则m=________.
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Tn,a3=4,T6=27,数列{bn}满足bn+1=b1+b2+b3+…+bn,b1=b2=1,设cn=an+bn,则数列{cn}的前11项和S11等于( ) A.1 062 B.2 124 C.1 101 D.1 100
跟踪演练3 (1)(2019·黄冈、华师附中等八校联考)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1=3,且a2,a4,a7成等比数列,数列{bn}的前n项和Sn满足Sn=2n(n∈N*),数列{cn}满足cn=anbn(n∈N*),则数列{cn}的前3项和为( ) A.31 B.34 C.62 D.59
(2)(2019·北京房山区期末)Sn为数列{an}的前n项和,其中an表示正整数n的所有因数中最大的奇数,例如:6的因数有1,2,3,6,则a6=3;15的因数有1,3,5,15,则a15=15.那么S30等于( )
A.240 B.309 C.310 D.345 热点四 数列的递推关系
由递推关系式求数列的通项公式常用的方法
(1)求出数列的前几项,再归纳猜想出数列的一个通项公式(注意验证);
(2)将已知递推关系式整理、变形得到等差或等比数列的通项公式,或用累加法(适用于an+1=an+f(n)型)、累乘法(适用于an+1=an·f(n)型)、待定系数法(适用于an+1=pan+q型)求通项公式.
例4 (1)(2019·榆林模拟)已知正项数列{xn}满足xn+2=则x2 019=________.
xn+1
,n=1,2,3,…,若x1=1,x2=2,xn
(2)(2019·永州模拟)设[x]表示不超过x的最大整数,已知数列{an}中,a1=2,且an+1=an(ana1a2an
+1),若?a+1+a+1+…+a+1?=100,则整数n等于( )
?1?2nA.99 B.100 C.101 D.102
跟踪演练4 (1)数列{an}满足an+1+an=(-1)n·n,则数列{an}的前20项和为( ) A.-100 B.100 C.-110 D.110
(2)(2019·漳州模拟)已知数列{an}和{bn}首项均为1,且an-1≥an(n≥2),an+1≥an,数列{bn}的前n项和为Sn,且满足2SnSn+1+anbn+1=0,则S2 019等于( ) 11
A.2 019 B. C.4 037 D. 2 0194 037
真题体验
1.(2015·全国Ⅰ,文,7)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和,若S8=4S4,则a10等于( )
1719
A. B. C.10 D.12 22
12.(2015·全国Ⅱ,文,9)已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2等于( )
411
A.2 B.1 C. D. 28
3
3.(2019·全国Ⅰ,文,14)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,S3=,则S4=________.
4
押题预测
20届高考数学二轮复习 第2部分 专题2 第1讲 数列、等差数列与等比数列(小题)
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