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2024年河南专升本高等数学公式大全汇总
小耶给同学们整理了2024年河南专升本高等数学公式大全，考试科目是高等数学的同学，可以参考一下：
(tanx)??secx(cotx)???csc2x(secx)??secx?tanx(cscx)???cscx?cotx(ax)??axlna(logax)??导数公式： 基本积分表：
2(arcsinx)??11xlna1?x21(arccosx)???1?x21(arctanx)??1?x21(arccotx)???1?x2xu?1?kdx?kx?C（k为常数） ?xdx?u?1?C
u11 dx?lnx?C?x?1?x2dx?arctanx?C
?11?x2dx?arcsinx?C ?cosxdx?sinx?C
?sinxdx??cosx?C
12dx?sec2?cosx?xdx?tanx?C
12dx?csc?sin2x?xdx??cotx?C ?secxtanxdx?secx?C
?cscxcotxdx??cscx?C ?edx?eax?adx?lna?C
xxx?C
两个重要极限：
sinx?1x?0x
1lim(1?)x?ex??x lim
三角函数公式：
sin2??2sin?cos? cos2??2cos2??1?1?2sin2??cos2??sin2?
sin2??cos2??1 sec2??1?tan2?
零点定理： 设函数f?x?在闭区间?a,b?上连续，且f?a??f?b??0，那么在开区间?a,b?上至少一点?，使f方程根的存在性。当涉及唯一根时，还需证明方程对应的函数的单调性） 罗尔定理：如果函数f?x?满足三个条件：
（考点：利用定理证明????0。
1
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（1）在闭区间?a,b?上连续； （2）在开区间?a,b?内可导；
（3）在区间端点处的函数值相等，即f?a??f?b?，
那么在?a,b?内至少有一点??a???b?，使得f'????0。（选择题：选择符合罗尔定理条件的函数；证明题） 拉格朗日中值定理：如果函数f?x?满足 （1）在闭区间?a,b?上连续； （2）在开区间?a,b?内可导，
那么在?a,b?内至少有一点??a???b?，使等式f?b??f?a??f?????b?a?成立。（证明题） 定积分应用相关公式
1b函数的平均值y?f?x?dx
b?a?a空间解析几何和向量代数： 空间两点的距离d?M1M2??x2?x1???y1?y2???z1?z2?222
向量b在向量a方向上的投影Prjab?bcosa,b 设a?ax,ay,az，b?bx,by,bz，则
两向量的数量积a?b?a?bcos??axbx?ayby?azbz是一个数，?为a与b的夹角；
?????? a与b的夹角 cos??axbx?ayby?azbza?a?a?b?b?b2x2y2z2x2y2z。
i两向量的向量积a?b?axbx
平面的方程：
jaybyk（考点：利用向量积求三角形的面积） az，a?b?a?bsin?。
bz1、点法式方程：A?x?x0??B?y?y0??C?z?z0??0，其中n??A,B,C?为平面的法线向量，M0?x0,y0,z0?为平面上的一点。 2、一般式方程：Ax?By?Cz?D?0，其中平面的一个法线向量n??A,B,C?。
3、截距式方程：
xyz???1，a,b,c为平面在x,y,z轴上的截距。 abc平面外任意一点到该平面的距离：d?Ax0?By0?Cz0?DA?B?C222。、
空间直线的方程：
1、直线的点向式方程（对称式方程）
2
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x?x0y?y0z?z0???t，其中直线的一方向向量s??m,n,p?； mnp2、直线的参数方程：
?x?x0?mt??y?y0?nt ?z?z?pt0?多元函数微分法及应用
全微分：dz??z?z?u?u?udx?dy du?dx?dy?dz?x?y?x?y?z全微分的近似计算：?z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y多元复合函数的求导法：dz?z?u?z?vz?f[u(t),v(t)] ???? dt?u?t?v?t?z?z?u?z?vz?f[u(x,y),v(x,y)] ? ????x?u?x?v?x当u?u(x,y)，v?v(x,y)时，?u?u?v?vdu?dx?dy dv?dx?dy ?x?y?x?y隐函数的求导公式：FxFFdydyd2y??隐函数F(x,y)?0， ??， 2?(?x)＋(?x)?dxFy?xFy?yFydxdxFyF?z?z隐函数F(x,y,z)?0， ??x， ???xFz?yFz微分法在几何上的应用：
?x??(t)x?xy?y0z?z0?空间曲线?y??(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：0?????(t)?(t)??(t0)00?z??(t)?在点M处的法平面方程：??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0??FyFzFzFxFx?F(x,y,z)?0若空间曲线方程为：,则切向量T?{,,?GGGxGx?yzGz?G(x,y,z)?0曲面F(x,y,z)?0上一点M(x0,y0,z0)，则：?1、过此点的法向量：n?{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}x?x0y?y0z?z03、过此点的法线方程：??Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)FyGy}方向导数与梯度：
2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)(z?z0)?0?f?f?f函数z?f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：?cos??sin??l?x?y其中?为x轴到方向l的转角。?f??f?i?j?x?y
???f??它与方向导数的关系是：?gradf(x,y)?e，其中e?cos??i?sin??j，为l方向上的?l单位向量。?f?是gradf(x,y)在l上的投影。?l函数z?f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)?多元函数的极值及其求法：
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设fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?0，令：fxx(x0,y0)?A, fxy(x0,y0)?B, fyy(x0,y0)?C??A?0,(x0,y0)为极大值2AC?B?0时，???A?0,(x0,y0)为极小值??2则：值?AC?B?0时， 无极?AC?B2?0时, 不确定???曲线积分：
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：?x??(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：, (??t??),则：??y??(t)?L?x?tf(x,y)ds??f[?(t),?(t)]??2(t)???2(t)dt (???) 特殊情况：??y??(t)??第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：?x??(t)设L的参数方程为，则：??y??(t)??P(x,y)dx?Q(x,y)dy???{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dtL两类曲线积分之间的关系：?Pdx?Qdy??(Pcos??Qcos?)ds，其中?和?分别为LL
L上积分起止点处切向量的方向角。格林公式：??(D?Q?P?Q?P?)dxdy??Pdx?Qdy格林公式：(?)dxdy??Pdx?Qdy???x?y?x?yLDL?Q?P1当P??y,Q?x，即：??2时，得到D的面积：A?dxdy?xdy?ydx???三个常用的正项级数： ?x?y2LD·平面上曲线积分与路径无关的条件：?n?11、等比级数 ?aq 1、G是一个单连通区域；n?12、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！ 当q?1时，该级数收敛于；
a1?q?Q?P＝。注意奇点，如(0,0)，应?x?y·二元函数的全微分求积：?Q?P在＝时，Pdx?Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中： 当时，该级数发散。 q?1?x?y(x,y)?P(x,1y)dx?Q(x,y)dy，通常设x2、p级数 ?
nu(x,y)??(x0,y0)n?1p0?y0?0。 当p?1时，该级数收敛；
当p?1时，该级数发散。特别地，当p?1时，
1称为调和级数。 ?nn?1?级数审敛法：
1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：???1时，级数收敛?设：??limnun，则???1时，级数发散n?????1时，不确定?2、比值审敛法：???1时，级数收敛U?设：??limn?1，则???1时，级数发散n??Un???1时，不确定?3、定义法：sn?u1?u2???un;limsn存在，则收敛；否则发散。n??
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交错级数u1?u2?u3?u4??(或?u1?u2?u3??,un?0)的审敛法——莱布尼兹定理：? ?un?un?1如果交错级数满足s?u1,其余项rn的绝对值rn?un?1。?limu?0，那么级数收敛且其和??n??n绝对收敛与条件收敛：
(1)u1?u2???un??，其中un为任意实数；(2)u1?u2?u3???un??如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。 1(?1)n调和级数：?n发散，而?n收敛；1 级数：?n2收敛；ｐ?１时发散1 p级数： ?npp?1时收敛幂级数：
1x?1时，收敛于1?x1?x?x2?x3???xn?? x?1时，发散对于级数(3)a0?a1x ?a2x2???anxn??，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全x?R时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使x?R时发散，其中R称为收敛半径。x?R时不定1
??0时，R?a求收敛半径的方法：设limn?1??，其中an，an?1是(3)的系数，则??0时，R???n??an????时，R?0?函数展开成幂级数：
f??(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数：f(x)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n??2!n!f(n?1)(?)余项：Rn?(x?x0)n?1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn?0
n??(n?1)!f??(0)2f(n)(0)nx0?0时即为麦克劳林公式：f(x)?f(0)?f?(0)x?x???x??2!n!一些函数展开成幂级数：
m(m?1)2m(m?1)?(m?n?1)nx???x?? (?1?x?1)2!n! 2n?1x3x5xsinx?x?????(?1)n?1?? (???x???)3!5!(2n?1)!(1?x)m?1?mx?
微分方程的相关概念：
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