此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：x?a，y?b，根据?AQB?120?得到
2ayx?y?a222将x?a???3，
22ab222b、消去x，用a、以便利用y?bc表示y，y代入，
列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．
解：（1）设F?c，0?，B?a，0?，A??a，0?． ?x?c?b2?P? ?222222?c，a??bx?ay?ab?? ??于是kAP?b2a?c?a?，kBP?b2a?c?a?．
∵?APB是AP到BP的角．
b2∴tan?APB?a?c?a?1?2?b42a?c?a?22b??2ac22
ac?a??∵a2?c2 ∴tan?APB??2
故tan?APB??3 ∴?APB?120?． （2）设Q?x，y?，则kQA?yx?a，kQB?yx?a．
由于对称性，不妨设y?0，于是?AQB是QA到QB的角．
y?y2ayx?a? 2222yx?y?a2∴tan?AQB?x?a1?x?a2∵?AQB?120， ∴
?2ayx?y?a222??3
222整理得3?x?y?a??2ay?0
∵x?a?22ab22y
22?a?2?∴3??1?b2?y?2ay?0
??
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∵y?0， ∴y?2ab3c2222
∵y?b， ∴
2ab3c?b
2ab?3c，4a2?a2?c2??3c2
2∴4c4?4a2c2?4a4?0，3e4?4e2?4?0
32∴e2?或e2??2（舍），∴
63?e?1．
典型例题十三
例13 已知椭圆
x22k?8?y9?1的离心率e?12，求k的值．
分析：分两种情况进行讨论．
解：当椭圆的焦点在x轴上时，a2?k?8，b2?9，得c2?k?1．由e?当椭圆的焦点在y轴上时，a2?9，b2?k?8，得c2?1?k． 由e?1212，得k?4．
，得
1?k9?14，即k??5454．
∴满足条件的k?4或k??．
说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为k?8与9的大小关系不定，所以椭
圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上．故必须进行讨论．
典型例题十四
例14 已知椭圆
x22224b?yb?1上一点P到右焦点F2的距离为b(b?1)，求P到左准线
的距离．
分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．
解法一：由
x224b?yb22?1，得a?2b，c?3b，e?32．
由椭圆定义，PF1?PF2?2a?4b，得
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PF1?4b?PF2?4b?b?3b．
由椭圆第二定义，
PF1d1?e，d1为P到左准线的距离，
∴d1?PF1e?23b，
即P到左准线的距离为23b．
PF2d2解法二：∵
?e，d2为P到右准线的距离，e?ca?32，
∴d2?PF2e?233b．
又椭圆两准线的距离为2?a2c?833b．
∴P到左准线的距离为
833b?233b?23b．
说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解． 椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．
典型例题十五
?x?4cos?,?例15 设椭圆?(?为参数)上一点P与x轴正向所成角?POx?，求
3?y?23sin?.P点坐标．
分析：利用参数?与?POx之间的关系求解．
解：设P(4cos?,23sin?)，由P与x轴正向所成角为
?323sin?4cos??3，
∴tan?，即tan??2．
而sin??0，cos??0，由此得到cos??55，sin??255，
∴P点坐标为(
455,4155)．
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典型例题十六
例16 设P(x0,y0)是离心率为e的椭圆
xa2222?yb?1 (a?b?0)上的一点，P到左焦
点F1和右焦点F2的距离分别为r1和r2，求证：r1?a?ex0，r2?a?ex0．
分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．
解：P点到椭圆的左准线l：x??PF1PQa2c的距离，PQ?x0?a2c，
由椭圆第二定义，?e，
∴r1?ePQ?a?ex0，由椭圆第一定义，r2?2a?r1?a?ex0．
说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y轴上的焦半径公式．
典型例题十七
例17 已知椭圆
P是椭圆上一点．
22x9?y5?1内有一点A(1,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点
(1) 求PA?PF1的最大值、最小值及对应的点P坐标； (2) 求PA?32PF2的最小值及对应的点P的坐标．
分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．
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解：
(1)如上图，2a?6，F2(2,0)，AF2?PF1?PF2?2a?62，设P是椭圆上任一点，由
，
PA?PF2?AF2，∴
PA?PF1?PF1?PF2?AF2?2a?AF2?6?等号仅当PA?PF2?AF2时成2，
立，此时P、A、F2共线．
由PA?PF2?AF2，∴PA?PF1?PF1?PF2?AF2?2a?AF2?6?号仅当PA?PF2?AF2时成立，此时P、A、F2共线．
?x?y?2?0,建立A、F2的直线方程x?y?2?0，解方程组?2得两交点 25x?9y?45?P1(97?15142,57?15142)、P2(97?15142,57?15142)．
2，等
综上所述，P点与P1重合时，PA?PF1取最小值6?PA?PF2取最大值6?2．
2，P点与P2重合时，
(2)如下图，设P是椭圆上任一点，作PQ垂直椭圆右准线，Q为垂足，由a?3，c?2，
23∴e?32．由椭圆第二定义知
PF2PQ?e?23，∴PQ?32PF2，∴
PA?PF2?PA?PQ，要使其和最小需有A、P、Q共线，即求A到右准线距离．右
92准线方程为x?．
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椭圆的简单几何性质典型例题
