椭圆的简单几何性质典型例题

典型例题一

例1 椭圆的一个顶点为A?2，0?，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当A?2，0?为长轴端点时，a?2，b?1，

x2椭圆的标准方程为：

4?y21?1；

（2）当A?2，0?为短轴端点时，b?2，a?4，

x2椭圆的标准方程为：

4?y216?1；

说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．

典型例题二

例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：?2c?a2c33?2?13 ∴3c2?a2，

∴e?13?．

说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比．二是列含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可．

典型例题三

例3 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x?y?1?0交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

解：由题意，设椭圆方程为

xa22?y?1，

2

1 / 20

?x?y?1?0?2由?x2，得?1?a?x2?2a2x?0，

2?2?y?1?a∴xM?x1?x22yMxM2?1?aa22，yM?1?xM?11?a2，

?kOM??1a2?14，∴a2?4，

∴

x24?y?1为所求．

说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．

典型例题四

例4椭圆

x225?y92?9??1上不同三点A?x1，y1?，B?4，?，C?x2，y2?与焦点F?4，0?的

?5?距离成等差数列．

（1）求证x1?x2?8；

（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k． 证明：（1）由椭圆方程知a?5，b?3，c?4． 由圆锥曲线的统一定义知：

AFa2?ca，

c?x1∴ AF?a?ex1?5?同理 CF?5?4545x1．

x2．

95∵ AF?CF?2BF，且BF???4，

∴ ?5?4???18， x1???5?x2??5??55?即 x1?x2?8．

（2）因为线段AC的中点为?4，1??y?y2??，所以它的垂直平分线方程为 2?

2 / 20

y?y1?y22?x1?x2y1?y2?x?4?．

又∵点T在x轴上，设其坐标为?x0，0?，代入上式，得 x0?4?y1?y2222?x1?x2?

又∵点A?x1，y1?，B?x2，y2?都在椭圆上， ∴ y12? y2?229259252?25?x?

21?25?x?

22∴ y1?y2??925?x1?x2??x1?x2?．

将此式代入①，并利用x1?x2?8的结论得 x0?4??93625

∴ kBT

?055??．

4?x04典型例题五

例5 已知椭圆

x224?y3?1，F1、F2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M，使M到

左准线l的距离MN是MF1与MF2的等比中项？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：假设M存在，设M?x1，y1?，由已知条件得

a?2，b?3，∴c?1，e?12．

∵左准线l的方程是x??4， ∴MN?4?x1． 又由焦半径公式知：

3 / 20

MF1?a?ex1?2?MF2?a?ex1?2?1212x1， x1．

∵MN2?MF1?MF2，

2∴?x1?4???2???11???x1??2?x1?． 2??2?整理得5x12?32x1?48?0． 解之得x1??4或x1??125． ①

另一方面?2?x1?2． ② 则①与②矛盾，所以满足条件的点M不存在．

说明：

（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．

（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．

（3）本例也可设M2cos?，3sin?存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．

??典型例题六

例6 已知椭圆

x?11?2?y?1，求过点P?，?且被P平分的弦所在的直线方程． 2?22?2分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k． 解法一：设所求直线的斜率为k，则直线方程为y?整理得

11???k?x??．代入椭圆方程，并22???1?2k?x22?2k?2kx?2?2?12k?k?232?0．

由韦达定理得x1?x2?2k?2k1?2k2．

12∵P是弦中点，∴x1?x2?1．故得k??所以所求直线方程为2x?4y?3?0．

．

4 / 20

分析二：设弦两端坐标为?x1，y1?、?x2，y2?，列关于x1、x2、y1、y2的方程组，从而求斜率：

y1?y2x1?x2．

解法二：设过P?，?的直线与椭圆交于A?x1，y1?、B?x2，y2?，则由题意得

?22??11??x122?y1?1，?2?2?x22?y2?1，??2?x1?x2?1，??y1?y2?1.①② ③④222①－②得

x1?x222?y1?y2?0． ⑤

y1?y2x1?x21212将③、④代入⑤得??，即直线的斜率为?．

所求直线方程为2x?4y?3?0．

说明：

（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．

（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率． （3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．

典型例题七

例7 求适合条件的椭圆的标准方程．

?6?； （1）长轴长是短轴长的2倍，且过点?2，（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6． 分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由

xa222?ybx22?1求出a?148，

2b?37，在得方程

2x2148?y237?1后，不能依此写出另一方程

y2148?37?1．

5 / 20