全等三角形的判定
一、知识点梳理 知识梳理: 一般三角形 直角三角形 条件 边角边（SAS）,角边角（ASA） 斜边、直角边（HL） 边边边（SSS）,角角边（AAS） 性质 对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等、 对应线段（如对应边上的高、中线、对应角平分线）相等 备注 判定三角形全等必须至少有一组对边相等 注意：判定两个三角形全等必须具备的三个条件中“边”是不可缺少的，边边角（SSA）和角角角（AAA）不能作为判定两个三角形全等的方法。 技巧平台：
证明两个三角形全等时要认真分析已知条件，仔细观察图形，明确已具备了哪些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法。根据三角形全等的条件来选择判定三角形全等的方法，常用的证题思路如下表：
已知条件 两角 一角及其对边 一角及邻边 两边 二、例题讲解 例1.（SSS）如图，已知AB=AD，CB=CD,那么∠B=∠D吗？为什么？ 分析：要证明∠B=∠D，可设法使它们分别在两个三角形中，再证它们所 在的两个三角形全等，本题中已有两组边分别对应相等，因此只要连接 AC边即可构造全等三角形。 ?AB?AD?
解：相等。理由：连接AC，在△ABC和△ADC中，?CB?CD
?AC?AC??△ABC≌△ADC（SSS），?∠B=∠D（全等三角形的对应角相等）
B C D 寻找的条件 夹边或任一边 任一角 角的另一邻边或边的另一邻角或边的对角 夹角或另一边或直角 选择的判定方法 ASA或AAS AAS SAS或ASA或AAS SAS或SSS或HL A 点评：证明两个角相等或两条线段相等，往往利用全等三角形的性质求解。有时根据问题的需要添加适当的辅助线构造全等三角形。
例2.（SSS）如图，△ABC是一个风筝架，AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架，证明：AD⊥BC.分析：要证AD⊥BC，根据垂直定义，需证∠ADB=∠ADC,而∠ADB=∠ADC可由△ABD≌△ACD求得。
证明：?D是BC的中点，?BD=CD
?AB?AC?在△ABD与△ACD中，?BD?CD
?AD?AD?A B D C
?△ABD≌△ACD(SSS)，?∠ADB=∠ADC（全等三角形的对应角相等） ?∠ADB+∠ADC=180?（平角的定义）
?∠ADB=∠ADC=90?，?AD⊥BC（垂直的定义）
D A E 例3.（SAS）如图，AB=AC,AD=AE,求证：∠B=∠C. 分析：利用SAS证明两个三角形全等，∠A是公共角。
?AB?AC???A??A证明：在△ABE与△ACD中,?
AE?AD?B C ?△ABE≌△ACD(SAS),?∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
例4.（SAS）如图，已知E,F是线段AB上的两点，且AE=BF,AD=BC,∠A=∠B,求证：DF=CE. 分析：先证明AF=BE，再用SAS证明两个三角形全等。 证明：?AE=BF(已知)
?AE+EF=BF+FE,即AF=BE
A E F B D C ?AD?BC?在△DAF与△CBE中,??A??B
?AF?BE??△DAF≌△CBE(SAS),?DF=CE（全等三角形的对应角相等）
点评：本题直接给出了一边一角对应相等，因此根据SAS再证出另一边（即AF=BE）相等即可，进而推出对应边相等。
练习、如图，AB,CD互相平分于点O，请尽可能地说出你从图中获得的信息（不需添加辅助线）。
例5.（ ASA）如图，已知点E,C在线段BF上，BE=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F,求证：AB=DE.
C O B A D 分析：要证AB=DE，结合BE=CF，即BC=EF，∠ACB=∠F逆推，即要找到证△ABC≌△DEF的条件。
证明:?AB∥DE,?∠B=∠DEF. 又?BE=CF，?BE+EC=CF+EC,即BC=EF.
??B??DEF?在△ABC与△DEF中,?BC?EF
??ACB??F??△ABC≌△DEF(ASA),?AB=DE.
B E C F A D 例6.（AAS）如图，已知B,C,E三点在同一条直线上，AC∥DE,AC=CE,∠ACD=∠B,求证：△ABC≌△CDE.
分析：在△ABC与△CDE中，条件只有AC=CE,还需要再找另外两个条件， A 由AC∥DE，可知∠B=∠D,于是△ABC≌△CDE的条件就有了。 D 证明：?AC∥DE，?∠ACB=∠E,且∠ACD=∠D. 又?∠ACD=∠B,?∠B=∠D.
??B??D?在△ABC与△CDE中,??ACB??E,
?AC?CE??△ABC≌△CDE(AAS).
B C E 解题规律：通过两直线平行，得角相等时一种常见的证角相等的方法，也是本题的解题关键。
例7.（HL）如图，在Rt△ABC中，∠A=90?,点D为斜边BC上一点，且BD=BA,过点D作BC得垂线，交AC于点E，求证：AE=ED.
分析：要证AE=ED，可考虑通过证相应的三角形全等来解决，但图中没有现成的三角形，因此要考虑添加辅助线构造出两线段所在的三角形，结合已知条件，运用“三点定形法”知，连接BE即可。 证明：连接BE.
?ED⊥BC于D,?∠EDB=90?.
A E ?BA?BD在Rt△ABE与Rt△DBE中，?
?BE?BE?Rt△ABE≌Rt△DBE(HL),?AE=ED.
B D C 解题规律：连接BE构造两个直角三角形是本题的解题关键。 特别提醒：连公共边是常作得辅助线之一。
A
三、课堂同步练习
1.如图，AB=AD,CB=CD,△ABC与△ADC全等吗？为什么？
2.如图，C是AB的中点，AD=CE,CD=BE,求证△ACD≌△CBE.
3.如图，△ABC中，AB=AC,AD是高，求证：(1)BD=CD;(2)∠BAD=∠CAD.
4.如图，AC⊥CB,DB⊥CB,AB=DC,求证∠ABD=∠ACD.
5.如图，点B,E,C,F在一条直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF,求证∠A=∠D.
C B A D B D C A B E C D A C B D
6.如图，AC和BD相交于点O，OA=OC,OB=OD.求证DC∥AB.
7.如图，点B,E,C,F在一条直线上，FB=CE,AB∥ED,AC∥FD.求证AB=DE,AC=DF.
8.如图，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB。求证：AB=DC。
B12CAD D A A B O D C
B F C E E?ED，?1??29. 已知B,求证：? ABE??CDE
全等三角形的判定复习与总结
