《三元一次方程组》例题与讲解
1.三元一次方程及三元一次方程组
(1)三元一次方程：含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程.
(2)三元一次方程组：
①定义：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组.如：
?x＋y＝1，?x＋3y＋2z＝2，?y＋z＝3，?3x＋2y－4z＝3，?x－2z＝5，?2x－y＝7
②拓展理解：
等都是三元一次方程组.
a.构成三元一次方程组中的每一个方程都必须是一次方程；
b.三元一次方程组中的每个方程不一定都含有三个未知数，但方程组中一定要有三个未知数.
【例1】 下列方程组中是三元一次方程组的是( ).
?
A.?y＋z＝0，?xz＝2
x2－y＝1，
??1
B.?y＋z＝2，
1??z＋x＝6
1
x＋y＝1，
?a＋b＋c＋d＝1，C.?a－c＝2，?b－d＝3
?m＋n＝18，D.?n＋t＝12，?t＋m＝0
解析：A，B选项中有的方程不是三元一次方程，C中含有四个未知数，只有D符合三元一次概念内涵，故选D.
答案：D
2.三元一次方程组的解
(1)三元一次方程的解：使三元一次方程左右两边相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程的解.
和二元一次方程一样，一个三元一次方程也有无数个解.
(2)三元一次方程组的解：组成三元一次方程组的三个方程的公共解，叫做三元一次方程组的解.它也是三个数.
(3)检验方法：同二元一次方程和二元一次方程组的检验方法一样，代入检验，左、右两边相等即是方程的解.
释疑点 检验三元一次方程组的解
三元一次方程组的解是三个数，将这三个数代入每一个方程检验，只有这些数满足方程组中的每一个方程，这些数才是这个方程组的解.
?x＝2，
【例2】 判断?y＝－3，
?z＝－3?x＝2，
解析：把?y＝－3，
?z＝－3
答案：是
?x＋y－2z＝5，
是不是方程组?2x－y＋z＝4，
?2x＋y－3z＝10
的解.
答：__________(填是或不是).
代入方程组的三个方程中检验，能使三个方程的左
右两边都相等，所以是方程组的解.
3.三元一次方程组的解法
(1)解法思想：解三元一次方程组的基本思路是消元，其方法有代入消元法和加减消元法两种，通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程.
(2)步骤：
①观察方程组中每个方程的特点，确定消去的未知数；
②利用加减消元法或代入消元法，消去一个未知数，得到二元一次方程组；
③解二元一次方程组，求出两个未知数的值；
④将所得的两个未知数的值代入原三元一次方程组中的某个方程，求出第三个未知数的值；
⑤写出三元一次方程组的解. (3)注意点：
①三元一次方程组的解法多种多样，只要逐步消元，解出每一个未知数即
可；
②解三元一次方程组时，每一个方程都至少要用到一次，否则解出的结果也不正确.
?x＋3y＋2z＝2，
【例3】 解方程组?3x＋2y－4z＝3，
?2x－y＝7.
①②③
分析：观察方程组中每个方程的特征可知，方程③不含有字母z，而①，②中的未知数z的系数成倍数关系，故可用加减消元法消去字母z，然后将所得的方程与③组合成二元一次方程组，求这个方程组的解，即可得到原方程组的解.
解：①×2＋②，得5x＋8y＝7，④ 解③，④组成的方程组 ?2x－y＝7，? ?5x＋8y＝7.
?x＝3，
解这个方程组，得?
?y＝－1.把x＝3，y＝－1代入①，得z＝1，
?x＝3，
所以原方程组的解为?y＝－1，
?z＝1.
(1)方法步骤：
4.运用三元一次方程组解实际问题
①审题：弄清题意及题目中的数量关系； ②设：设三个未知数；
③列：找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，用式子表示，列出三个方程，组成三元一次方程组；
④解：解这个方程组，并检验解是否符合实际； ⑤答：回答说明实际问题的答案. 析规律 列三元一次方程组
同二元一次方程组的实际应用相类似，运用三元一次方程组解决实际问题要设三个未知数，寻找三个等量关系，列出三个一次方程，组成三元一次方程
《三元一次方程组》例题与讲解
