第7节动能和动能定理
一、动能
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1.大小:Ek=mv。
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2.单位:国际单位制单位为焦耳,1 J=1N·m=1 kg·m/s。 3.标矢性:动能是标量,只有大小,没有方向,只有正值,没有负值。 二、 动能定理
1.推导:如图所示,物体的质量为m,在与运动方向相同的恒力F的作用下发生了一段位移l,速度由v1增加到v2,此过程力F做的功为W。
2.内容:力在一个过程中对物体做的功,等于物体在这个过程中动能的变化。 3.表达式:W=Ek2-Ek1。
4.适用范围:既适用于恒力做功也适用于变力做功;既适用于直线运动也适用于曲线运动。
1.自主思考——判一判 (1)速度大的物体动能也大。(×)
(2)某物体的速度加倍,它的动能也加倍。(×) (3)合外力做功不等于零,物体的动能一定变化。(√) (4)物体的速度发生变化,合外力做功一定不等于零。(×) (5)物体的动能增加,合外力做正功。(√) 2.合作探究——议一议
(1)歼-15战机是我国自主研发的第一款舰载战斗机,如图所示: ①歼-15战机起飞时,合力做什么功?速度怎么变化?动能怎么变化?
②歼-15战机着舰时,动能怎么变化?合力做什么功?增加阻拦索的原因是什么? 提示:①歼-15战机起飞时,合力做正功,速度、动能都不断增大。
②歼-15战机着舰时,动能减小,合力做负功。增加阻拦索是为了加大对飞机的阻力。 (2)骑自行车下坡时,没有蹬车,车速却越来越快,动能越来越大,这与动能定理相矛盾吗?
提示:不矛盾。人没蹬车,但重力却对人和车做正功,动能越来越大。
对动能、动能定理的理解 1.动能的特征
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(1)动能是状态量:与物体的运动状态(或某一时刻的速度)相对应。
(2)具有相对性:选取不同的参考系,物体的速度不同,动能就不同,一般以地面为参考系。
2.对动能定理的理解
(1)表达式W=ΔEk中的W为外力对物体做的总功。 (2)动能定理描述了做功和动能变化的两种关系。 ①等值关系:物体动能的变化量等于合力对它做的功。
②因果关系:合力对物体做功是引起物体动能变化的原因,做功的过程实质上是其他形式的能与动能相互转化的过程,转化了多少由合力做的功来度量。
1.(全国卷Ⅲ)一质点做速度逐渐增大的匀加速直线运动,在时间间隔t内位移为s,动能变为原来的9倍。该质点的加速度为( )
s3s4sA.2 B.2C.2 t2tt8s D.2 t解析:选A 质点在时间t内的平均速度v=,设时间t内的初、末速度分别为v1和v2,则v=
stv1+v2
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,故v1+v2s1212s=。由题意知:mv2=9×mv1,则v2=3v1,进而得出2v1=。质点2t22t的加速度a=
v2-v12v1s==2。故选项A正确。 ttt2.(多选)一质量为0.1 kg的小球,以5 m/s的速度在光滑水平面上匀速运动,与竖直墙壁碰撞后以原速率反弹,若以弹回的速度方向为正方向,则小球碰墙过程中的速度变化和动能变化分别是( )
A.Δv=10 m/s C.ΔEk=1 J
B.Δv=0 D.ΔEk=0
解析:选AD 小球速度变化Δv=v2-v1=5 m/s-(-5 m/s)=10 m/s,小球动能的变化1212
量ΔEk=mv2-mv1=0。故A、D正确。
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3.下列关于运动物体的合外力做功和动能、速度变化的关系,正确的是( ) A.物体做变速运动,合外力一定不为零,动能一定变化 B.若合外力对物体做功为零,则合外力一定为零 C.物体的合外力做功,它的速度大小一定发生变化 D.物体的动能不变,所受的合外力必定为零
解析:选C 力是改变物体速度的原因,物体做变速运动时,合外力一定不为零,但合外力不为零时,做功可能为零,动能可能不变,A、B错误。物体的合外力做功,它的动能一定变化,速度也一定变化,C正确。物体的动能不变,所受合外力做功一定为零,但合外力不一
定为零,D错误。
1.应用动能定理解题的基本思路 2.动能定理的优越性
动能定理的应用 适用条件 牛顿运动定律 只能研究物体在恒力作用下做直线运动的情况 要考虑运动过程的每一个细节 矢量运算 动能定理 对于物体在恒力或变力作用下做直线运动或曲线运动均适用 只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能 代数运算 应用方法 运算方法 相同点 结论 确定研究对象,对物体进行受力分析和运动过程分析 应用动能定理解题不涉及加速度、时间,不涉及矢量运算,运算简单,不易出错 [典例] 如图所示,用一块长L1=1.0 m的木板在墙和桌面间架设斜面,桌子高H=0.8 m,长L2=1.5 m。斜面与水平桌面的倾角θ可在0~60°间调节后固定。将质量m=0.2 kg的小物块从斜面顶端静止释放,物块与斜面间的动摩擦因数μ1=0.05,物块与桌面间的动摩擦因数为μ2,忽略物块在斜面与桌面交接处的能量损失。(重力加速度取g=10 m/s;最大静摩擦力等于滑动摩擦力)
(1)求θ角增大到多少时,物块能从斜面开始下滑;(用正切值表示)
(2)当θ角增大到37°时,物块恰能停在桌面边缘,求物块与桌面间的动摩擦因数μ2;(已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)
(3)继续增大θ角,发现θ=53°时物块落地点与墙面的距离最大,求此最大距离xm。 [思路点拨] 解答本题时应注意以下两点
(1)物块要沿斜面下滑的临界条件是mgsin θ=μ1mgcos θ。 (2)物块平抛的水平距离与桌子长度之和为落地点到墙面的最大距离。 [解析] (1)为使小物块下滑,应有mgsin θ≥μ1mgcos θ
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θ满足的条件tan θ≥0.05
即当θ=arctan 0.05时物块恰好从斜面开始下滑。 (2)克服摩擦力做功Wf=μ1mgL1cos θ+μ2mg(L2-L1 cos θ) 由动能定理得mgL1sin θ-Wf=0 代入数据得μ2=0.8。
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(3)由动能定理得mgL1sin θ-Wf=mv
2代入数据得v=1 m/s
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由平抛运动规律得H=gt,x1=vt
2解得t=0.4 s,x1=0.4 m
xm=x1+L2=1.9 m。
[答案] (1)arctan 0.05 (2)0.8 (3)1.9 m
动能定理与牛顿运动定律在解题时的选择方法 (1)动能定理与牛顿运动定律是解决力学问题的两种重要方法,同一个问题,用动能定理一般要比用牛顿运动定律解决起来更简便。 (2)通常情况下,若问题涉及时间、加速度或过程的细节,要用牛顿运动定律解决;而曲线运动、变力做功或多过程等问题,一般要用动能定理解决。
1.一辆汽车以v1=6 m/s的速度沿水平路面行驶时,急刹车后能滑行s1=3.6 m,如果以
v2=8 m/s的速度行驶,在同样的路面上急刹车后滑行的距离s2应为( )
A.6.4 m C.7.2 m
B.5.6 m D.10.8 m
解析:选A 法一:急刹车后,汽车做匀减速运动,且两种情况下加速度大小是相同的,由运动学公式可得-v1=-2as1 ①,-v2=-2as2 ②,
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s1v12v22?8?2
两式相比得=2。故汽车滑行距离s2=2s1=??×3.6 m=6.4 m。
s2v2v1?6?
法二:急刹车后,水平方向上汽车只受摩擦阻力的作用,且两种情况下摩擦力大小是相1212
同的,汽车的末速度皆为零。-Fs1=0-mv1 ①,-Fs2=0-mv2 ②,
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s2v22
②式除以①式得=2。故汽车滑行距离
s1v1v22?8?s2=2s1=??2×3.6 m=6.4 m。 v1?6?
2.一质量为m的小球,用长为l的轻绳悬挂于O点,小球在水平力F作用下从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点,如图所示。则力F所做的功为( )
A.mglcos θB.Flsin θC.mgl(1-cos θ)D.Fl(1-sin θ)
解析:选C 小球的运动过程是缓慢的,因而小球任何时刻均可看作是平衡状态,力F的大小在不断变化,F做功是变力做功。小球上升过程只有重力mg和F这两个力做功,由动能
定理得-mg(l-lcos θ)+WF=0,所以WF=mgl(1-cos θ)。
3.一架喷气式飞机,质量为m=5×10 kg,起飞过程中从静止开始滑行的路程为x=5.3×10 m时(做匀加速直线运动),达到起飞速度v=60 m/s,在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重力的k倍(k=0.02),求飞机受到的牵引力。
解析:以飞机为研究对象,它受到重力、支持力、牵引力和阻力作用,这四个力做的功分别为WG=0,W支=0,W牵=Fx,W阻=-kmgx。
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由动能定理得Fx-kmgx=mv-0
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5×10×60?mv2?34
解得F=kmg+=?0.02×5×10×10+2?N=1.8×10 N。
2×5.3×10?2x?答案:1.8×10 N
[典例] 如图所示,ABCD为一竖直平面内的轨道,其中BC水平,A点比BC高出10 m,
应用动能定理求解多过程问题 4
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BC长1 m,AB和CD轨道光滑。一质量为1 kg的物体,从A点以4 m/s的速度开始运动,经
过BC后滑到高出C点10.3 m的D点速度为0。求:(取g=10 m/s)
(1)物体与BC轨道间的动摩擦因数。 (2)物体第5次经过B点时的速度。 (3)物体最后停止的位置(距B点多少米)。 [思路点拨]
(1)重力做功与物体运动路径无关,其大小为mgΔh,但应注意做功的正、负。 (2)物体第5次经过B点时在水平面BC上的路径为4sBC。
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[解析] (1)由动能定理得-mg(h-H)-μmgsBC=0-mv1,解得μ=0.5。
2(2)物体第5次经过B点时,物体在BC上滑动了4次, 1212
由动能定理得mgH-μmg·4sBC=mv2-mv1,
22解得v2=411 m/s≈13.3 m/s。 (3)分析整个过程,由动能定理得
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mgH-μmgs=0-mv12,
解得s=21.6 m。
所以物体在轨道上来回运动了10次后,还有1.6 m, 故距B点的距离为2 m-1.6 m=0.4 m。 [答案] (1)0.5 (2)13.3 m/s (3)距B点0.4 m
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