.
初一数学动点问题集锦
1、如图，已知△ABC中，AB?AC?10厘米，BC?8厘米，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边
B P D Q C A 运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
解：（1）①∵t?1秒， ∴BP?CQ?3?1?3厘米，
∵AB?10厘米，点D为AB的中点， ∴BD?5厘米． 又∵厘米，
∴PC?8?3?5厘米PC?BC?BP，BC?8， ∴PC?BD． 又∵AB?AC， ∴?B??C，
∴△BPD≌△CQP． （4分） ②∵
vP?vQ， ∴BP?CQ，
又∵△BPD≌△CQP，?B??C，则BP?PC?4，CQ?BD?5， ∴点P，点Q运动的时间
t?BP4?33秒，
. .
.
vQ?∴
CQ515??44t3厘米/秒． （7分）
（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
15x?3x?2?10由题意，得4，
x?803秒．
解得
80?3?80∴点P共运动了3厘米．
∵80?2?28?24，
∴点P、点Q在AB边上相遇，
80∴经过3秒点P与点Q第一次在边AB上相遇． （12分）
3y??x?642、直线与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出
发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；
（3）当
S?485时，求出点P的坐标，并
B y 直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．
解（1）A（8，0）B（0，6） 1分
P x O . .
Q A .
（2）OA?8，OB?6
?AB?10
8?8Q点由O到A的时间是1（秒） 6?10?2?点P的速度是8（单位/秒） 1分
当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时，OQ?t，OP?2t
S?t2 1分
当P在线段BA上运动（或3?t≤8）时，OQ?t，AP?6?10?2t?16?2t,
PDAP48?6t?PD?5， 如图，作PD?OA于点D，由BOAB，得1分 1324?S?OQ?PD??t2?t255 1分
（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）
?824?P?，?（3）?55?
1分
??824??1224??1224?I1?，?，M2??，?，M3?，??555555? 3分 ?????3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于
A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？
解：（1）⊙P与x轴相切.
. .
.
∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0）， 与y轴交于B（0，－8）， ∴OA=4，OB=8. 由题意，OP=－k， ∴PB=PA=8+k.
在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2， ∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径， ∴⊙P与x轴相切.
（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.
13∵△PCD为正三角形，∴DE=2CD=2，PD=3，
33 ∴PE=2.
∵∠AOB=∠PEB=90°， ∠ABO=∠PBE， ∴△AOB∽△PEB，
33AOPE4?,即=2ABPB45PB， PB?315,2
3152，
∴
∴
∴
PO?BO?PB?8?∴
P(0,315?8)2，
∴
k?315?82.
315当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,－2－8)， 315∴k=－2－8，
315315∴当k=2－8或k=－2－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P
为顶点的三角形是正三角形.
. .
.
4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），
点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H． （1）求直线AC的解析式；
（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．
解：
. .
.
Q D A P 图16
5在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
. .
B E C .
（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成 为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由； （4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．
8解：（1）1，5；
（2）作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t，∴AP?3?t．
22由△AQF∽△ABC，BC?5?3?4，
QFt4?QF?t5． 得45．∴14S?(3?t)?t25， ∴
26S??t2?t55． 即
B E Q D P C （3）能．
A ①当DE∥QB时，如图4．
∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形． 此时∠AQP=90°．
AQAP?ACAB， 由△APQ ∽△ABC，得t3?t9?t?即35． 解得8．
图4
②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形． 此时∠APQ =90°．
AQAP?ABAC， 由△AQP ∽△ABC，得 t3?t15?t?即53． 解得8．
t?52t?4514．
（4）
或
. .
B . Q G ①点P由C向A运动，DE经过点C． 连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6． 342(5?t)]2222?[(5?t)]?[4?55PC?t，QC?QG?CG． 345t2?[(5?t)]2?[4?(5?t)]2t?55由PC?QC，得，解得2．
22D A P C(E) B G 图6 Q D A P C(E) ②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．
3445(6?t)2?[(5?t)]2?[4?(5?t)]2t?55，14】
图7
，?B?60°，6如图，在Rt△ABC中，?ACB?90°BC?2．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合
A E O ? D l C B C 的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为?．
（1）①当?? 度时，四边形EDBC是等腰A O B （备用图）
梯形，此时AD的长为 ；
②当?? 度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为 ；
（2）当??90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．
解（1）①30，1；②60，1.5； ……………………4分
（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC是形. ……………………6分
在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.
∴AB=4,AC=23. ∴
1AC2AO==3 . ……………………8分
. .
平行四边
.
在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2. ∴BD=2. ∴BD=BC.
又∵四边形EDBC是平行四边形，
∴四边形EDBC是菱形 ……………………10分
AD∥BC，AD?3，DC?5，AB?42，∠B?45?．7如图，在梯形ABCD中，动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．
（1）求BC的长．
（2）当MN∥AB时，求t的值．
（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．
解：（1）如图①，过A、D分别作AK?BC于K，DH?BC于H，则四边形ADHK是矩形
∴KH?AD?3． 1分
2AK?ABsin45??42．?42在Rt△ABK中， BK?ABcos45??422?42 2分
N B M
C
A D 22HC?5?4?3 Rt△CDH在中，由勾股定理得，
∴BC?BK?KH?HC?4?3?3?10 3分
B
A
D
A
D
N
C
B
C
K （图①）
H
G （图②）
M
. .
.
（2）如图②，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形
∵MN∥AB ∴MN∥DG ∴BG?AD?3 ∴GC?10?3?7 4分
由题意知，当M、N运动到t秒时，CN?t，CM?10?2t． ∵DG∥MN ∴∠NMC?∠DGC 又∠C?∠C ∴△MNC∽△GDC
CNCM?CDCG 5分 ∴
t10?2t?7 即5t?5017 6分
解得，
（3）分三种情况讨论：
①当NC?MC时，如图③，即t?10?2t
t?103 7分
A
D
N
C
B
（图④）
C
A
D N
∴
B
M
（图③）
M H E
. .
.
②当MN?NC时，如图④，过N作NE?MC于E 解法一：
由等腰三角形三线合一性质得
cosc?EC?11MC??10?2t??5?t22
在Rt△CEN中，
EC5?t?NCt CH3?CD5
又在Rt△DHC中，
5?t3?5 ∴tt?258 8分
cosc?解得
解法二：
∵∠C?∠C，?DHC??NEC?90? ∴△NEC∽△DHC
NCEC?∴DCHC t5?t?3 即5t?258 8分
FC?11NC?t22
∴
③当MN?MC时，如图⑤，过M作MF?CN于F点.解法一：（方法同②中解法一）
1tFC32cosC???MC10?2t5
60t?解得17
A D
N
B
（图⑤）
解法二：
∵∠C?∠C，?MFC??DHC?90?
. .
H M
F C
.
∴△MFC∽△DHC
FCMC?HCDC ∴
1t2?10?2t5 即3t?6017
t?256010t?t?8或17时，△MNC为等腰三角形 3、9分
∴
综上所述，当
8如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作
EF∥BC交CD于点F．AB?4，BC?6，∠B?60?.
（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM?EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EP?x.
MN①当点N在线段AD上时（如图2），△P求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；
的形状是否发生改变？若不变，
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.
. .
A E B
D A
N .
D A D N F
C
P P F F E E C B C B
M M
图1 图2 图3 A （第25题） A D D F E F E
B C B C 图5（备用） 图4（备用）
解（1）如图1，过点E作EG?BC于点G． 1分 ∵E为AB的中点，
BE?1AB?2．2
B
A E D F C
图1
∴
在Rt△EBG中，∠B?60?，∴∠BEG?30?． 2分
BG?1BE?1，EG?22?12?3．2
G
∴
即点E到BC的距离为3． 3分
（2）①当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变． ∵PM?EF，EG?EF，∴PM∥EG． ∵EF∥BC，∴EP?GM，PM?EG?3． 同理MN?AB?4． 4分
如图2，过点P作PH?MN于H，∵MN∥AB， ∴∠NMC?∠B?60?，∠PMH?30?．
13PH?PM?．22 ∴
B
. .
A E P H G M 图2
N
D F C
.
3MH?PMcos30??．2 ∴
NH?MN?MH?4?35?．22
22则
?5??3?22PN?NH?PH??????7．???22????在Rt△PNH中，
∴△PMN的周长=PM?PN?MN?3?7?4．
6分
②当点N在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但△MNC恒为等边三角形．
当PM?PN时，如图3，作PR?MN于R，则MR?NR．
3MR?．2 类似①，
∴MN?2MR?3． 7分
∵△MNC是等边三角形，∴MC?MN?3．
此时，x?EP?GM?BC?BG?MC?6?1?3?2． 8分
A E B
P R
G
M 图3
C
B
G
图4
M
D N F
A E P D F N C
B
A E D F（P） N C
G
图5
M
当MP?MN时，如图4，这时MC?MN?MP?3．
此时，x?EP?GM?6?1?3?5?3．
当NP?NM时，如图5，∠NPM?∠PMN?30?． 则∠PMN?120?，又∠MNC?60?， ∴∠PNM?∠MNC?180?．
. .
.
因此点P与F重合，△PMC为直角三角形．
．∴MC?PMtan30??1
此时，x?EP?GM?6?1?1?4．
5?3综上所述，当x?2或4或时，△PMN为等腰三角形． 10分 9如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4）， 点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，
同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，
设运动的时间为t秒．
(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
(2)求正方形边长及顶点C的坐标；
(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标； (4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．
??解：（1）Q（1，
0） 1分
点P运动速度每秒钟1个单位长度． 2分
（2） 过点B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，则BF＝8，OF?BE?4． ∴AF?10?4?6．
y22 在Rt△AFB中，AB?8?6?10 3分 D 过点C作CG⊥x轴于点G，与FB的延长线交于点H． ∵?ABC?90?,AB?BC ∴△ABF≌△BCH． ∴BH?AF?6,CH?BF?8． ∴OG?FH?8?6?14,CG?8?4?12．
AMFONQPCBEHGx∴所求C点的坐标为（14，12）． 4分
. .
.
（3） 过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N， 则△APM∽△ABF． ∴
tAMMPAPAMMP?????68． ABAFBF． 103434AM?t，PM?tPN?OM?10?t,ON?PM?t55． ∴55． ∴
设△OPQ的面积为S（平方单位）
13473S??(10?t)(1?t)?5?t?t2251010（0≤t≤10） ∴
5分
说明:未注明自变量的取值范围不扣分．
t??47102?(?3)10?476 ∵
a??310<0 ∴当
时， △OPQ的面积最大． 6分
9453 此时P的坐标为（15，10） ． 7分
5295t?3或13时， OP与PQ相等． 9分
（4） 当
t?
10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．?AEF?90，且EF交正方形外角?DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE?EF．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
F D D A A D A
F F B B E C E C G G B C E G 图1 图2
图3
. .
. .
.
.
解：（1）正确． （1分）
证明：在AB上取一点M，使AM?EC，连接ME． （2分）
?BM?BE．??BME?45°，??AME?135°．
A M B E
C D
F G
CF是外角平分线， ??DCF?45°， ??ECF?135°． ??AME??ECF．
?AEB??BAE?90°，?AEB??CEF?90°，
??BAE??CEF．
?△AME≌△BCF（ASA）．
?AE?EF． （6分）
（5分）
（2）正确． （7分）
证明：在BA的延长线上取一点N． 使AN?CE，连接NE． （8分）
N A
D
F ?BN?BE． ??N??PCE?45°． 四边形ABCD是正方形，
?AD∥BE． ??DAE??BEA．
B C E G
??NAE??CEF． ?△ANE≌△ECF（ASA）．
?AE?EF． （11分）
（10分）
，OA?2，OB?4．如11已知一个直角三角形纸片OAB，其中?AOB?90°. .
.
图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．
（Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；
B y O A x B??x，OC?y，试写出y（Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B?，设O关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；
B y O A x （Ⅲ）若折叠后点B落在边OA上的点为B?，且使B?D∥OB，求此时点C的坐标．
y B 解（Ⅰ）如图①，折叠后点B与点A重合， 则△ACD≌△BCD. 设点C的坐标为?O A x 0，m??m?0?.
则BC?OB?OC?4?m. 于是AC?BC?4?m.
222在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC?OC?OA，
即?4?m??m?2222，解得
m?32.
?3??0，??点C的坐标为?2?. 4分
（Ⅱ）如图②，折叠后点B落在OA边上的点为B?,
. .
.
则△B?CD≌△BCD. 由题设OB??x，OC?y， 则B?C?BC?OB?OC?4?y，
222在Rt△B?OC中，由勾股定理，得B?C?OC?OB?.
??4?y??y2?x22，
1y??x2?28即 6分
由点B?在边OA上，有0≤x≤2，
1y??x2?2?0≤x≤2?8? 解析式为所求. ?
当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，
3≤y≤2?y的取值范围为2. 7分
（Ⅲ）如图③，折叠后点B落在OA边上的点为B??，且B??D∥OB. 则?OCB????CB??D.
??OCB????CBD，有CB??∥BA. 又?CBD??CB??D，?Rt△COB??∽Rt△BOA.
OB??OC?有OAOB，得OC?2OB??. 9分
在Rt△B??OC中， 设
OB???x0?x?0?，则
OC?2x0.
12x0??x20?28由（Ⅱ）的结论，得，
?x0??8?45. 解得x0??8?45．x0?0，. .
.
?点C的坐标为
85?16??0，.
10分
A M F
D
12问题解决
如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN．当
CE1AM?CD2时，求BN的值．
E
B
N 图（1）
C
方法指导：
AM 为了求得的值，可先求BN、AM的长，不妨设：AB=2 BN
类比归纳
CE1AMCE1AM?，?，在图（1）中，若CD3则BN的值等于 ；若CD4则BN的CE1AM?值等于 ；若CDn（n为整数），则BN的值等于 ．（用含n的式子表示）
联系拓广
如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与
AB1CE1AM??m?1?，?，CDn则BN的值等点C，D重合），压平后得到折痕MN，设BCm于 ．（用含m，n的式子表示）
F
A
M D E
B
解：方法一：如图（1-1），连接BM，EM，BE．
. .
N 图（2）
C
A M F
D
E
B
N 图（1-1）
C
.
由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称． ∴MN垂直平分BE．∴BM?EM，BN?EN． 1分 ∵
四
边
形
ABCD是正方形，∴
?A??D??C?90°,AB?BC?CD?DA?2．
CE1?，?CE?DE?1．NC?2?x．CD2 ∵设BN?x，则NE?x，
222 在Rt△CNE中，NE?CN?CE．
∴
x??2?x??1．解得
222x?55BN?．4，即4 3分
在Rt△ABM和在Rt△DEM中，
AM2?AB2?BM2， DM2?DE2?EM2，
?AM2?AB2?DM2?DE2．5分
y2?22??2?y??12．AM?y，DM?2?y， 设则∴ 11y?，AM?．4即4 6分 解得AM1?．BN5 ∴
27分
5BN?．4 3分 方法二：同方法一，
如图（1－2），过点N做NG∥CD，交AD于点G，连接BE．
. .
A M F G
D
E
B
C N
图（1-2）
.
∵AD∥BC，∴四边形GDCN是平行四边形． ∴NG?CD?BC．
5AG?BN?．4 同理，四边形ABNG也是平行四边形．∴
??EBC??BNM?90°．∵MN?BE，
NG?BC，??MNG??BNM?90°，??EBC??MNG． △BCE与△NGM中
??EBC??MNG，??BC?NG，??C??NGM?90°．△BCE≌△NGM，EC?MG．?∴ ５分
51AM?AG?MG，AM=?1?．44 6分 ∵
AM1?．∴BN5
7分
2类比归纳
?n?1?24925（或10）；17； n?1 10分
联系拓广
n2m2?2n?1n2m2?1 12分
欢迎您的光临，Word文档下载后可修改编辑双击可删除页眉页脚谢谢！希望您提出您宝贵的意见，你的意见是我进步的动力。赠语； 1、如果我们做与不做都会有人笑，如果做不好与做得好还会有人笑，那么我们索性就做得更好，来给人笑吧！ 2、现在你不玩命的学，以后命玩你。、我不知道年少轻狂，我只知道胜者为王。、不要做金钱、权利的奴隶；应学会做“金钱、权利”的主人。、什么时候离光明最近？那就是你觉得黑暗太黑的时候。、最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。、压力不是有人比你努力，而是那些比你牛×几倍的人依然比你努力。
. .
初一年级数学动点问题例题集 - 图文
