中考压轴题型:二次函数中的面积问题(学生篇)
【典型例题一】
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例1 已知抛物线y=x2+mx-m2(m>0)与x轴交于A、B两点.
4(1)求证:抛物线的对称轴在y轴的左侧;
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(2)若-=(O是坐标原点),求抛物线的解析式;
OBOA3
(3)设抛物线与y轴交于点C,若△ABC是直角三角形,求△ABC的面积.
例2 已知二次函数的图象经过A(2,0)、C(0,12)两点,且对称轴为直线x=4。设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B。
(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;
(2)如图1,在直线 y=2x上是否存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,点M是线段OP上的一个动点(O、P两点除外),以每秒2个单位长度的速度由点P向点O 运动,过点M作直线MN∥x轴,交PB于点N。将△PMN沿直线MN对折,得到△P1MN。在动点M的运动过程中,设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S,运动时间为t秒。求S关于t的函数关系式。
例3 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A(m-4,0)和B(m,0),与直线y=-x+p相交于点A和点C(2m-4,m-6)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P在抛物线上,且以点P和A、C以及另一点Q为顶点的□ACQP面积为12,求点P、Q的坐标;
(3)在(2)条件下,若点M是x轴下方抛物线上的动点,当△PQM的面积最大时,请求出△PQM的最大面积及点M的坐标。
练习1如图,平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(-2,2),点B的坐标为(6,6),抛物线经过A、O、B三点,连结OA、OB、AB,线段AB交y轴于点E.
(1)求点E的坐标;
(2)求抛物线的函数解析式;
(3)点F为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合),直线EF与抛物线交于M、N两点(点N在y轴右侧),连结ON、BN,当点F在线段OB上运动时,求△BON面积的最大值,并求出此时点N的坐标;
(4)连结AN,当△BON面积最大时,在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似(点B、O、P分别与点O、A、N对应)的点P的坐标.
练习2如图,抛物线y=(x+1)2+k 与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-3). (1)求抛物线的对称轴及k的值;
(2)抛物线的对称轴上存在一点P,使得PA+PC的值最小,求此时点P的坐标; (3)点M是抛物线上一动点,且在第三象限. ①当M点运动到何处时,△AMB的面积最大?求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标;
②当M点运动到何处时,四边形AMCB的面积最大?求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标.
【典型例题二】
例4 已知二次函数y=x2-2mx+4m-8。
(1)当x≤2时,函数值y随x的增大而减小,求m的取值范围。
(2)以抛物线y=x2-2mx+4m-8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN(M、N两点在抛物线上),请问:△AMN的面积是与m无关的定值吗?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由。
(3)若抛物线y=x2-2mx+4m-8与x轴交点的横坐标均为整数,求整数m的值。
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例5 如图,抛物线y=ax2+bx(a>0)与双曲线y=相交于点A、B。已知点B的坐
x标为(-2,-2),点A在第一象限内,且tan∠AOx=4。过点A作直线AC∥x轴,交抛物线于另一点C.
(1)求双曲线和抛物线的解析式; (2)计算△ABC的面积;
(3)在抛物线上是否存在点D,使△ABD的面积等于△ABC的面积.若存在,请你写出点D的坐标;若不存在,请你说明理由.
练习1已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2,且与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.其中A(1,0),C(0,-3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P在抛物线上运动(点P异于点A).
①如图l,当△PBC面积与△ABC面积相等时,求点P的坐标; ②如图2,当∠PCB=∠BCA时,求直线CP的解析式。