新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系（第1课时）函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系应用案巩固提升新人教B版必修第一册
[A 基础达标]
1.下列说法中正确的个数是( )
①f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为(－1，0)； ②f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1；
③y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴的交点； ④y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标. A.1 C.3
B.2 D.4
解析：选B.根据函数零点的定义，f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1，也就是函数
y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标.因此，只有说法②④正确，故选B.
2.函数f(x)＝x－4x的零点为( ) A.(0，0)，(2，0) C.－2，0，2
B.(－2，0)，(0，0)，(2，0) D.0，2
3
解析：选C.令f(x)＝0，得x(x－2)(x＋2)＝0，解得x＝0或x＝±2，故选C. 3.函数f(x)＝(x－1)x－4的零点个数是( ) A.1 C.3
2
2
2
B.2 D.4
解析：选B.要使函数有意义，则x－4≥0，
即x≥4，x≥2或x≤－2.
由f(x)＝0得x－4＝0或x－1＝0(不成立舍去). 即x＝2或x＝－2，
所以函数的零点个数为2个.故选B.
4.不等式mx－ax－1>0(m>0)的解集可能是( )
??1?A.?x?x<－1或x>?
4???
2
2
2
2
B.R
??13?
?? － D.? 解析：选A.因为Δ＝a＋4m>0，所以函数y＝mx－ax－1的图像与x轴有两个交点，又 2 2 m>0，所以原不等式的解集不可能是B、C、D选项. 5.若关于x的不等式ax－b＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是( ) A.(－∞，－1)∪(3，＋∞) B.(－1，3) C.(1，3) D.(－∞，1)∪(3，＋∞) 解析：选A.由题意，知a＞0，且1是ax－b＝0的根，所以a＝b＞0，所以(ax＋b)(x－3)＝a(x＋1)(x－3)＞0，所以x＜－1或x＞3，因此原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞). 6.函数f(x)＝2 019x＋1的零点为 . 解析：令f(x)＝0，则x＝－1答案：－ 2 019 7.若二次函数y＝ax＋bx＋c(a＜0)的图像与x轴的两个交点为(－1，0)和(3，0)，则不等式ax＋bx＋c＜0的解集是 . 解析：根据二次函数的图像知所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞). 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞) ??x＋2x，x≥0， 8.已知函数f(x)＝?2若f(a)≤3，则a的取值范围是 . ?－x＋2x，x＜0.? 2 2 2 1 . 2 019 解析：当a≥0时，a＋2a≤3，所以0≤a≤1；当a＜0时，－a＋2a≤3，所以a＜0.综上所述，a的取值范围是(－∞，1]. 22 答案：(－∞，1] 9.已知函数f(x)＝x－bx＋3. (1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点. (2)若函数f(x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围. 解：(1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x－4x＋3，令f(x)＝0，即x－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1. 所以f(x)的零点是1和3. (2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图. 需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4. 故b的取值范围为(4，＋∞). 10.已知函数f(x)＝－3x＋2x－m＋1. (1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点； (2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值. 解：(1)函数有两个零点，则对应方程－3x＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，易知 2 2 2 2 2 Δ＞0，即4＋12(1－m)＞0，可解得m＜； 4 由Δ＝0，可解得m＝； 34 由Δ＜0，可解得m＞. 34 故当m＜时，函数有两个零点； 34 当m＝时，函数有一个零点； 34 当m＞时，函数无零点. 3 (2)由已知得，0是对应方程的根，有1－m＝0，可解得m＝1. [B 能力提升] 11.不等式x＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是( ) A.(－∞，－4)∪(4，＋∞) B.(－4，4) C.(－∞，－4]∪[4，＋∞) D.[－4，4] 解析：选A.不等式x＋ax＋4<0的解集不是空集，即不等式x＋ax＋4<0有解，所以Δ＝a－4×1×4>0，解得a>4或a<－4. 12.一元二次方程x－5x＋1－m＝0的两根均大于2，则实数m的取值范围是( ) 2 2 2 2 2 43 ?21?A.?－，＋∞? ?4??21?C.?－，－5? ?4? Δ＝25－4＋4m≥0， B.(－∞，－5) ?21?D.?－，－5? ?4? 2 解析：选C.关于x的一元二次方程x－5x＋1－m＝0的两根均大于2，则 ??4－10＋1－m＞0， ?5??2＞2， 故选C. 21 解得－≤m＜－5. 4 13.已知f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a＜b)，且α，β(α＜β)是方程f(x)＝0的两根，则 α，β，a，b的大小关系是( ) A.a＜α＜β＜b C.α＜a＜b＜β B.a＜α＜b＜β D.α＜a＜β＜b 解析：选A.因为α，β为f(x)＝0的两根，所以α，β为f(x)＝(x－a)(x－b)＋2与x轴交点的横坐标.因为a，b为(x－a)(x－b)＝0的根，令g(x)＝(x－a)(x－b)，所以a，b为g(x)与x轴交点的横坐标.可知f(x)图像可由g(x)图像向上平移2个单位得到，由图知选A. 12 14.若函数f(x)＝2ax＋x－在(0，1)内有零点，求实数a的取值范围. 211 解：当a＝0时，f(x)＝x－，零点x＝∈(0，1)，符合题意. 22 Δ＝1＋4a＝0，??12 当a≠0时，①若2ax＋x－＝0在(0，1)内有两个相等实根，则?此时不1 20＜－＜1，?4a? 等式组无解， 1112 ②若方程2ax＋x－＝0在(0，1)内只有一个实根，当f(1)＝2a＋≠0，即a≠－时， 2241?1?11 有f(0)·f(1)＝－?2a＋1－?＜0，解得a＞－，即此时a＞－，且a≠0； 2?2?44 1121 当f(1)＝0，即a＝－时，方程为－x＋x－＝0，解得x1＝x2＝1∈/ (0，1)，不合题 422意. 12 ③若方程2ax＋x－＝0在(0，1)内有两个不等实根，即f(x)在(0，1)内有两个零点， 2 ?Δ＝1＋4a＞0，?1 因为f(0)＝－，所以此时函数f(x)的图像开口向下，则有?此时不等式组1 20＜－＜1， 4a??f(0)·f(1)＞0. 无解. a＜0， ?1?综上可知，实数a的取值范围是?－，＋∞?. ?4? [C 拓展探究] 15.若函数f(x)为R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x－4x＋3. (1)求f(x)在R的解析式； (2)若a∈R，g(x)＝f(x)－a，试讨论a取何值时，g(x)零点的个数最多？最少？ 解：(1)当x＝0时，f(0)＝0； 当x＜0时，－x＞0，根据定义可知，f(x)＝－f(－x)＝－(x＋4x＋3)＝－x－4x－3， 2 2 2 x－4x＋3，x＞0，?? 故f(x)＝?0，x＝0， ??－x2－4x－3，x＜0. (2)在坐标系中，作出函数f(x)的图像. 2 当a＝0时，g(x)＝f(x)－a有5个零点； 当0＜a＜1或－1＜a＜0时，g(x)有4个零点； 当a＝±1时，g(x)有3个零点； 当1＜a＜3或－3＜a＜－1时，g(x)有2个零点； 当a＜－3或a＞3时，g(x)有1个零点； 故a＝0时，g(x)＝f(x)－a零点的个数最多；a＜－3或a＞3时，g(x)零点的个数最少.
新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系(第1课时)函数的零点、二次函数的零点及其与对
