新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系(第1课时)函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系应用案巩固提升新人教B版必修第一册
[A 基础达标]
1.下列说法中正确的个数是( )
①f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为(-1,0); ②f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为-1;
③y=f(x)的零点,即y=f(x)的图像与x轴的交点; ④y=f(x)的零点,即y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标. A.1 C.3
B.2 D.4
解析:选B.根据函数零点的定义,f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为-1,也就是函数
y=f(x)的零点,即y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标.因此,只有说法②④正确,故选B.
2.函数f(x)=x-4x的零点为( ) A.(0,0),(2,0) C.-2,0,2
B.(-2,0),(0,0),(2,0) D.0,2
3
解析:选C.令f(x)=0,得x(x-2)(x+2)=0,解得x=0或x=±2,故选C. 3.函数f(x)=(x-1)x-4的零点个数是( ) A.1 C.3
2
2
2
B.2 D.4
解析:选B.要使函数有意义,则x-4≥0,
即x≥4,x≥2或x≤-2.
由f(x)=0得x-4=0或x-1=0(不成立舍去). 即x=2或x=-2,
所以函数的零点个数为2个.故选B.
4.不等式mx-ax-1>0(m>0)的解集可能是( )
??1?A.?x?x<-1或x>?
4???
2
2
2
2
B.R
??13?
?? - D.? 解析:选A.因为Δ=a+4m>0,所以函数y=mx-ax-1的图像与x轴有两个交点,又 2 2 m>0,所以原不等式的解集不可能是B、C、D选项. 5.若关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是( ) A.(-∞,-1)∪(3,+∞) B.(-1,3) C.(1,3) D.(-∞,1)∪(3,+∞) 解析:选A.由题意,知a>0,且1是ax-b=0的根,所以a=b>0,所以(ax+b)(x-3)=a(x+1)(x-3)>0,所以x<-1或x>3,因此原不等式的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞). 6.函数f(x)=2 019x+1的零点为 . 解析:令f(x)=0,则x=-1答案:- 2 019 7.若二次函数y=ax+bx+c(a<0)的图像与x轴的两个交点为(-1,0)和(3,0),则不等式ax+bx+c<0的解集是 . 解析:根据二次函数的图像知所求不等式的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞). 答案:(-∞,-1)∪(3,+∞) ??x+2x,x≥0, 8.已知函数f(x)=?2若f(a)≤3,则a的取值范围是 . ?-x+2x,x<0.? 2 2 2 1 . 2 019 解析:当a≥0时,a+2a≤3,所以0≤a≤1;当a<0时,-a+2a≤3,所以a<0.综上所述,a的取值范围是(-∞,1]. 22 答案:(-∞,1] 9.已知函数f(x)=x-bx+3. (1)若f(0)=f(4),求函数f(x)的零点. (2)若函数f(x)的一个零点大于1,另一个零点小于1,求b的取值范围. 解:(1)由f(0)=f(4)得3=16-4b+3,即b=4,所以f(x)=x-4x+3,令f(x)=0,即x-4x+3=0得x1=3,x2=1. 所以f(x)的零点是1和3. (2)因为f(x)的零点一个大于1,另一个小于1,如图. 需f(1)<0,即1-b+3<0,所以b>4. 故b的取值范围为(4,+∞). 10.已知函数f(x)=-3x+2x-m+1. (1)当m为何值时,函数有两个零点、一个零点、无零点; (2)若函数恰有一个零点在原点处,求m的值. 解:(1)函数有两个零点,则对应方程-3x+2x-m+1=0有两个不相等的实数根,易知 2 2 2 2 2 Δ>0,即4+12(1-m)>0,可解得m<; 4 由Δ=0,可解得m=; 34 由Δ<0,可解得m>. 34 故当m<时,函数有两个零点; 34 当m=时,函数有一个零点; 34 当m>时,函数无零点. 3 (2)由已知得,0是对应方程的根,有1-m=0,可解得m=1. [B 能力提升] 11.不等式x+ax+4<0的解集不是空集,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,-4)∪(4,+∞) B.(-4,4) C.(-∞,-4]∪[4,+∞) D.[-4,4] 解析:选A.不等式x+ax+4<0的解集不是空集,即不等式x+ax+4<0有解,所以Δ=a-4×1×4>0,解得a>4或a<-4. 12.一元二次方程x-5x+1-m=0的两根均大于2,则实数m的取值范围是( ) 2 2 2 2 2 43 ?21?A.?-,+∞? ?4??21?C.?-,-5? ?4? Δ=25-4+4m≥0, B.(-∞,-5) ?21?D.?-,-5? ?4? 2 解析:选C.关于x的一元二次方程x-5x+1-m=0的两根均大于2,则 ??4-10+1-m>0, ?5??2>2, 故选C. 21 解得-≤m<-5. 4 13.已知f(x)=(x-a)(x-b)+2(a<b),且α,β(α<β)是方程f(x)=0的两根,则 α,β,a,b的大小关系是( ) A.a<α<β<b C.α<a<b<β B.a<α<b<β D.α<a<β<b 解析:选A.因为α,β为f(x)=0的两根,所以α,β为f(x)=(x-a)(x-b)+2与x轴交点的横坐标.因为a,b为(x-a)(x-b)=0的根,令g(x)=(x-a)(x-b),所以a,b为g(x)与x轴交点的横坐标.可知f(x)图像可由g(x)图像向上平移2个单位得到,由图知选A. 12 14.若函数f(x)=2ax+x-在(0,1)内有零点,求实数a的取值范围. 211 解:当a=0时,f(x)=x-,零点x=∈(0,1),符合题意. 22 Δ=1+4a=0,??12 当a≠0时,①若2ax+x-=0在(0,1)内有两个相等实根,则?此时不1 20<-<1,?4a? 等式组无解, 1112 ②若方程2ax+x-=0在(0,1)内只有一个实根,当f(1)=2a+≠0,即a≠-时, 2241?1?11 有f(0)·f(1)=-?2a+1-?<0,解得a>-,即此时a>-,且a≠0; 2?2?44 1121 当f(1)=0,即a=-时,方程为-x+x-=0,解得x1=x2=1∈/ (0,1),不合题 422意. 12 ③若方程2ax+x-=0在(0,1)内有两个不等实根,即f(x)在(0,1)内有两个零点, 2 ?Δ=1+4a>0,?1 因为f(0)=-,所以此时函数f(x)的图像开口向下,则有?此时不等式组1 20<-<1, 4a??f(0)·f(1)>0. 无解. a<0, ?1?综上可知,实数a的取值范围是?-,+∞?. ?4? [C 拓展探究] 15.若函数f(x)为R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x-4x+3. (1)求f(x)在R的解析式; (2)若a∈R,g(x)=f(x)-a,试讨论a取何值时,g(x)零点的个数最多?最少? 解:(1)当x=0时,f(0)=0; 当x<0时,-x>0,根据定义可知,f(x)=-f(-x)=-(x+4x+3)=-x-4x-3, 2 2 2 x-4x+3,x>0,?? 故f(x)=?0,x=0, ??-x2-4x-3,x<0. (2)在坐标系中,作出函数f(x)的图像. 2 当a=0时,g(x)=f(x)-a有5个零点; 当0<a<1或-1<a<0时,g(x)有4个零点; 当a=±1时,g(x)有3个零点; 当1<a<3或-3<a<-1时,g(x)有2个零点; 当a<-3或a>3时,g(x)有1个零点; 故a=0时,g(x)=f(x)-a零点的个数最多;a<-3或a>3时,g(x)零点的个数最少.
新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系(第1课时)函数的零点、二次函数的零点及其与对
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