第9讲 函数模型及其应用
一、知识梳理
1．几种常见的函数模型
函数模型 一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型 函数解析式 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数， a>0且a≠1，b≠0) f(x)＝blogax＋c (a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0) 对数函数模型 幂函数模型 2.三种函数模型性质比较 在(0，＋∞) 上的单调性 增长速度 图象的变化 常用结论 y＝ax(a>1) 增函数 越来越快 y＝logax(a>1) 增函数 越来越慢 y＝xn(n>0) 增函数 相对平稳 随n值变化而不同 随x值增大，图象与y随x值增大，图象与x轴接近平行 轴接近平行 a
“对勾”函数f(x)＝x＋(a>0)的性质
x
(1)该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a ]上单调递减．
(2)当x>0时，x＝a时取最小值2a； 当x<0时，x＝－a时取最大值－2a. 二、教材衍化
1．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如表：
x y 0.50 －0.99 0.99 0.01 2.01 0.98 3.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是( ) A．y＝2x
B．y＝x2－1
1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
解析：选D．根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．
2．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( )
A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1 B．结余最高的月份是7月
C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D．前6个月的平均收入为40万元
解析：选D．由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，1
前6个月的平均收入为×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误．
6
3．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______．
24－4x
解析：设隔墙的长度为x(0 23)2＋18，所以当x＝3时，y最大． 答案：3 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数增长比一次函数增长更快．( ) (2)在(0，＋∞)内，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．( ) (3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、易错纠偏 2 常见误区| (1)忽视实际问题中实际量的单位、含义、范围等； (2)建立函数模型出错． 1．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是________． 解析：由题意可得 ?0.5x，0 ?0.4x＋10，x>100? 2．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时1 的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业 2一个月应生产该商品数量为________万件． 解析：设利润为L(x)，则利润L(x)＝20x－C(x)＝ 1 －(x－18)2＋142，当x＝18 时，L(x)有最大值． 2答案：18 考点一 用函数图象刻画变化过程(基础型) 复习指导| 能将实际问题转化为数学问题，会应用函数图象对实际问题进行描述． 核心素养：数学建模 1．(2024·广州市综合检测(一))如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T. 若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是( ) 解析：选B．水位由高变低，排除C，D．半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B． 2．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙 3 三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( ) A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油 解析：选D．根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对． 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案． 考点二 函数模型的选择(应用型) 复习指导| 会比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义． 核心素养：数学建模、数学运算 某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该 企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来年利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据： 年份 投资成本x 2008 3 2009 5 2010 9 2011 17 … … 4 年利润y 1 2 3 4 … 给出以下3个函数模型：①y＝kx＋b(k≠0)；②y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)． (1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系； (2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型． 【解】 (1)将(3，1)，(5，2)代入y＝kx＋b(k≠0)， ??1＝3k＋b，得?解得?2＝5k＋b，? ? ?1 ?b＝－2， 1k＝，2 11 所以y＝x－. 22 当x＝9时，y＝4，不符合题意； 将(3，1)，(5，2)代入y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)， ?3x－3??a＝，?1＝ab，2x4得?解得?所以y＝·(2)＝22. 54??2＝ab，? ?b＝2， 9－32 2 当x＝9时，y＝2＝8，不符合题意； 将(3，1)，(5，2)代入y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)， ???1＝loga（3＋b），?a＝2，得?解得?所以y＝log2(x－1)． ?2＝loga（5＋b），?b＝－1，?? 当x＝9时，y＝log28＝3； 当x＝17时，y＝log216＝4.故可用③来描述x，y之间的关系． (2)令log2(x－1)>6，则x>65. 6 因为年利润＜10%，所以该企业要考虑转型． 65 根据实际问题选择函数模型时应注意以下几点 (1)若能够根据实际问题作出满足题意的函数图象，可结合图象特征选择． (2)当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为常数，a<0)；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为常数，a>0)． (3)对数函数(底数大于1时)增长越来越慢，而指数函数(底数大于1时)增长越来越快． 某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿的种植成本Q(单位： 元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表： 时间t 60 100 180 5
2024版新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第9讲 函数模型及其应用
