平面向量
【考情上线】
1. 平面向量这部分知识本身很重要，作为工具性知识广泛应用于三角函数、解析几何、立体几何的教学中，以
填空题考查本章的基本概念和性质，此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题，向量的基本运算可以为真空题，也可以为中档的解答题，向量与数列、不等式、函数等代数内容的综合问题对学生的能力考查有较高的要求，以解答题考查圆锥曲线中的典型问题，此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。 平面向量的基本概念及线性运算
【知识回顾】
一、向量的有关概念及表示方法
1. 向量：既有大小又有方向的量。向量一般用a,b,c……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB几何表示法AB，a；坐标表示法a?xi?yj?(x,y)。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。 ????2. 向量的模：向量的大小即向量的模（长度），如AB,a的模分别记作|AB|和|a|。注：向量
不能比较大小，但向量的模可以比较大小。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。 3. 几类特殊向量
（1） 0与任意向量平行，零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，零向量a＝0?｜
?a｜＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）
的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别）酽锕极額閉镇桧猪訣锥。 ?（2） 单位向量：模为1个单位长度的向量，向量a0为单位向量?|a0|?1。将一个向量除以它的模即得到单位向量，如a的单位向量为：ea?a彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。 |a|???（3） 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，称为平行向量。记作a∥b。
规定：0与任何向量平等，
任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。厦礴恳蹒骈時盡继價骚。 （4）相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量。记作?a。
关于相反向量有：① 零向量的相反向量仍是零向量， ②?(?a)=a； ③a?(?a)?0；
?????????????④若a、b是互为相反向量，则a=?b,b=?a,a+b=0。茕桢广鳓鯡选第1页（共32页）
块网羈泪。 ??（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量。记为a?b。相等向量经过平移后总可以重合。
二、向量的线性运算
1.向量加法
（1）定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法
设AB?a,BC?b，则a+b=AB?BC=AC。
规定：0?a?a?0?a；
（2）向量加法的法则—“三角形法则”与“平行四边形法则”
① 用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与
已知向量的始点重合的那条对角线。
② 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一
个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和。注：当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
??????AB?BC?CD?（3）向量加法的运算律：
?PQ?QR?AR，但这时必须“首尾相连”。鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。 ①交换律：a?b?b?a②结合律：(a?b)?c?a?(a?c) 2.法向量的减
（1） 定义：若a?x?b则向量x叫做a与b的差，记为b?a。求两个向量差的运算，叫做向量
的减法。 （2） 向量减法的法则—“三角形法则”与“平行四边形法则”
?① 三角形法则：当a,b有共同起点时，a?b表示为从减向量b的终点指向
?被减向量a的终点的向量。
② 平行四边形法则：两个已知向量是要共始点的，差向量是如图所示的对角
?线。设AB?a,AC?b则a-b=AB?AC?CB.
C 3.实数与向量的积
ba?bB Aa?（1） 定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作?a，它的长度与方向规定如下：
??① ?a???a；
???a的方向与a的方向相同；?a的方向与a的方向相反；② 当??0时，当??0时，当??0??时，?a?0，方向是任意的。
（2） 数乘向量的运算律
①?(?a)?(??)a；②(???)a??a??a；③?(a?b)??a??b。 三、向量共线定理
1. 定理：若a与b是两个非零向量，则ab共线?有且只有一个实数?，使得b??a，即
a//b?b??a(a?0)
2. 推论：若a与b是两个非零向量，则ab共线?存在两个均不为零的实数?、?，使得
?a??b?0，
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3. 应用：可以证明三点共线：AB??AC?A、B、C三点共线。
四、平面向量的基本定理
1. 定理：如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a???，有且只
有一对实数?1,?2使：a??1e1??2e2。我们把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。 2. 注意：①要平面内的两个向量不共线，都可以作为一组基底，②当
???????a用基底e1,e2写成
???a??1e1??2e2时，称之为向量的分解， ③当若a与b是两个非零向量，则ab共线?有且
只有一个实数?，使得e1?e2时，称a??1e1??2e2为向量的正交分解。預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。 3. 应用：
①证明向量共面：若a,b不共线，则p与a,b共面的充要条件是存在有序实数对(x,y)，使
???p?xa?yb
②证明四点共面：若MA,MB不共线，存在实数对(x,y)使MP?xMA?yMB?M,P,A,B四点
共面， ③证明三点共线：若MA,MB不共线，存在实数对(x,y)使MP?xMA?yMB且x?y?1?P,A,B
三点共线。 五、平面向量的坐标表示与运算
1. 平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a?xi?yj，由于a与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)，其中x叫作a的横坐标，y叫做作纵坐标。规定：①i?(1,0)，j?(0,1)② 相等的向量坐标相同，坐标相同
的向量是相等的向量；渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。 ③ 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关 2. 平面向量的坐标运算：
①若a?(x?(x)则a?b??x?；②若A?x1,y1?,B?x2,y2?，则1,y1),b2,y2，1?x2,y1?y2AB??x?；③若a=(x,y)，则?a=(?x,?y)；④若a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则2?x1,y2?y1),ba//b?x1y2?x2y1?0；a?b?x1x2?y1y2⑤若a?(1x,1y?a?b?x1?x2,y1?y2
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2 则(x，,y)六、线段的定比分点从标公式
设直线l上有一条有向线段PP1,P2的动点P，若12和一个不同于P|PP1|??,即
|PP2|PP12的定比分点，且称P分有向线段成定比?。铙誅卧1??PP2(???1),则称点P为有向线段PP泻噦圣骋贶頂廡。 x1??x2?x???1??(???1)若??1，得到PP(x,y),P(x,y)设P(x,y),P，则?12中点坐标111222y??y2?y?1?1???x1?x2?x???2 ?y?y?y?12??2七、几个重要结论
1. |a?b|?|a?b|?2(|a|?|b|)，|a|?|b|?(a?b)(a?b) 2. 若G为?ABC的重心?GA?GB?GC?0?G(【例题讲解】
考点一：向量的基本概念
例1. 判断下列命题是否正确，不正确的说明理由。 （1） 若向量a与b同向，且|a|?|b|，则a222222x1?x2?x3y1?y2?y3,)。 33?b；
?b；
（2） 若向量|a|?|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反； （3） 对于任意向量|a|?|b|，且a与b的方向相同，则a（4） 由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行。 （5） 向量
AB与向量CD是共线向量，则A,B,C,D四点在一条直线上；
（6） 起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量。
解：（1）不正确，因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能
比较大小，故（1）不正确.擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。 （2）不正确，由|a|?|b|只能判断两个向量长度相等，不能判断方向。 （3）正确，因为|a|?|b|，且方向相同，由两向量相等的条件可得a?b
（4）不正确，由零向量性质可得0与任一向量平行，可知（4）不正确。 （5）不正确，若向量
AB与向量CD是共线向量，则向量AB与CD所在的直线平行或重合，因此，
A,B,C,D不一定共线。
（6）正确，对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意平行移动的。 例2. 判断下列各命题是否正确： （1） 若|a|?|b|，则a?b；
（2） 单位向量都相等； （3） 向量就是有向线段；
（4） 两相等向量若其起点相同，则终点也相同； （5） 若a?b，b?c，则a?c；
（6） 若a//b，b//c，则a//c；
（7） 若四边形ABCD是平行四边形，则AB?DC,BC?DA
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解：（1）不正确，由|a|?|b|只能判断两个向量长度相等，不能判断方向（2）不正确，单位向量只是模均为单位长度1，而对方向没有要求；（3）不正确，有向线段有三个要素：起点、终点及长度，向量有两个要素：大小与方向。有向线段只是向量的一种表示形式，不能把两者等同起来；（4）正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，则终点必重合；（5）正确，由向量相等定义可得（6）不正确，若b?0，则对两个不共线的向量a与c，也有a//0,0//c，但a//c（7）
不正确，贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。 考点二：向量的基本运算
例3. 如图所示，已知OA?a,OB?b,OC?c,OD?d,OE?e,OF?f，试用
a,b,c,d,e,f
表示：
（1）AD?AB; （2）AB?CF; （3）BF?BD. 例4.如右图，以向量OA?a,OB?b为边作
1OADB,BM?BC,
31CN?CD,用a,b表示OM,ON,MN
3111解：BA?OA?OB?a?b，BM?BA?a?b
66615?OM?OB?BM?a?b 又OD?a?b
6611112ON?OC?CD?OD?OD?OD?(a?b)
32633221511?MN?ON?OM?a?b?a?b?a?b
336626152211即有OM?a?b,ON?a?b,MN?a?b
663326考点三：共线向量
例5. 设两个非零向量a,b不共线， （1）若
AB?a?b，BC?2a?8b,CD?3(a?b)，求证：A,B,D三点共线。
AB?a?b，BC?2a?8b,CD?3(a?b)
它们有公共点B，?A,B,D三
（2）试确定实数k，使ka?b和a?kb共线。 解：（1）证明：
?BD?BC?CD??3(a?b)?5(a?b)?5AB?AB,BD共线。又
点共线 （2）
ka?b与a?kb共线，?存在实数?，使得
ka?b??(a?kb) 即ka?b??a??kb，
?(k??)a?(?k?1)b，a,b是不花线的两个非零向量，?k????k?1?0,?k2?1?0?k??1
例6．设两个非零向量e1,e2不共线.(1)如果
AB?e??81e?2e1?e2,BC?3e1?2e2,CD2，求证：
，且A,C,D三点共线，求k的
A,C,D三点共线；(2)如果AB?e1?e2,BC?2e1?3e2,CD?2e1?ke2值。
解：（1）证明： AB?e1?e2,BC?3e1?2e2,CD??8e1?2e2
11AC?AB?BC?4e1?e2??(?8e1?2e2)??CD?AC与CD共线，又
22C,?A,C,D三点共线
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AC与CD有公共点
全国高考平面向量专题突破
