2024-2024年高考数学一轮总复习 12.2 排列与组合教案 理 新人
教A版
典例精析
题型一 排列数与组合数的计算
8！＋A66
【例1】 计算：(1)；(2) C33＋C34＋…＋C310.
A28－A410
8×7×6×5×4×3×2×1＋6×5×4×3×2×157×6×5×4×3×2
【解析】(1)原式＝＝＝－
8×7－10×9×8×756×(－89)5 130
. 623
(2)原式＝C44＋C34＋C35＋…＋C310＝C45＋C35＋…＋C310＝C46＋C36＋…＋C310＝C411＝330. n！【点拨】在使用排列数公式Amn＝进行计算时，要注意公式成立的条件：m，n∈N+，
(n－m)！m≤n.另外，应注意组合数的性质的灵活运用. 【变式训练1】解不等式
xA9＞6
x?2A9.
9！9！
【解析】原不等式即＞6×，
(9－x)！(11－x)！1
也就是
(9－x)！
6＞(11?x)?(10?x)?9?x)!，
化简得x2－21x＋104＞0，
解得x＜8或x＞13，又因为2≤x≤9，且x∈N*， 所以原不等式的解集为{2,3,4,5,6,7}. 题型二 有限制条件的排列问题
【例2】 3男3女共6个同学排成一行. (1)女生都排在一起，有多少种排法？ (2)女生与男生相间，有多少种排法？
(3)任何两个男生都不相邻，有多少种排法？ (4)3名男生不排在一起，有多少种排法？
(5)男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2位女生，女生又不能排在队伍的两端，有几种排法？
【解析】(1)将3名女生看作一人，就是4个元素的全排列，有A44种排法.又3名女生内部可有A33种排法，所以共有A44·A3＝144种排法.
(2)男生自己排，女生也自己排，然后相间插入(此时有2种插法)，所以女生与男生相间共有2A33·A3＝72种排法.
(3)女生先排，女生之间及首尾共有4个空隙，任取其中3个安插男生即可，因而任何两个男生都不相邻的排法共有A33·A34＝144种. (4)直接分类较复杂，可用间接法.即从6个人的排列总数中，减去3名男生排在一起的排法种数，得3名男生不排在一起的排法种数为A66－A33A44＝576种. (5)先将2个女生排在男生甲、乙之间，有A23种排法.又甲、乙之间还有A22种排法.这样就有
A23·A2种排法.然后把他们4人看成一个元素(相当于一个男生)，这一元素及另1名男生排在首尾，有A22种排法.最后将余下的女生排在其间，有1种排法.故总排法为A23A22A22＝24种. 【点拨】排列问题的本质就是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制主要表现在：某些元素“排”或“不排”在哪个位子上，某些元素“相邻”或“不相邻”.对于这类问题，在分析时，主要按照“优先”原则，即优先安排特殊元素或优先满足特殊位子，对于“相邻”问题可用“捆绑法”，对于“不相邻”问题可用“插空法”.对于直接考虑较困难的问题，可以采用间接法.
【变式训练2】把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列构成一个数列.
(1)43 251是这个数列的第几项？ (2)这个数列的第97项是多少？
【解析】(1)不大于43 251的五位数A55－(A44＋A33＋A22)＝88个，即为此数列的第88项. (2)此数列共有120项，而以5开头的五位数恰好有A44＝24个，所以以5开头的五位数中最小的一个就是该数列的第97项，即51 234. 题型三 有限制条件的组合问题
【例3】 要从12人中选出5人去参加一项活动. (1)A，B，C三人必须入选有多少种不同选法？ (2)A，B，C三人都不能入选有多少种不同选法？ (3)A，B，C三人只有一人入选有多少种不同选法？ (4)A，B，C三人至少一人入选有多少种不同选法？ (5)A，B，C三人至多二人入选有多少种不同选法？ 【解析】(1)只须从A，B，C之外的9人中选择2人，C29＝36种不同选法. (2)由A，B，C三人都不能入选只须从余下9人中选择5人，即有C59＝C49＝126种选法. (3)可分两步，先从A，B，C三人中选出1人，有C13种选法，再从余下的9人中选4人，有C49种选法，所以共有C13·C49＝378种选法. (4)可考虑间接法，从12人中选5人共有C512种，再减去A，B，C三人都不入选的情况C59，共有C512－C59＝666种选法.
(5)可考虑间接法，从12人中选5人共有C512种，再减去A，B，C三人都入选的情况C29种，所以共有C512－C29＝756种选法.
【点拨】遇到至多、至少的有关计数问题，可以用间接法求解.对于有限制条件的问题，一般要根据特殊元素分类.
【变式训练3】四面体的顶点和各棱中点共有10个点. (1)在其中取4个共面的点，共有多少种不同的取法？ (2)在其中取4个不共面的点，共有多少种不同的取法？
【解析】(1)四个点共面的取法可分三类.第一类：在同一个面上取，共有4C46种；第二类：在一条棱上取三点，再在它所对的棱上取中点，共有6种；第三类：在六条棱的六个中点中取，取两对对棱的4个中点，共有C23＝3种.故有69种. (2)用间接法.共C410－69＝141种. 总结提高
解有条件限制的排列与组合问题的思路： (1)正确选择原理，确定分类或分步计数； (2)特殊元素、特殊位置优先考虑； (3)再考虑其余元素或其余位置.
2024-2024年高考数学一轮总复习 12.2 排列与组合教案 理 新人教A版
