第八章 《圆锥曲线》专题复习
一、椭圆方程.
1. 椭圆的第一定义：
PF1?PF2?2a?F1F2方程为椭圆,PF1?PF2?2a?F1F2无轨迹,PF1?PF2?2a?F1F2以F1,F2为端点的线段
2．椭圆的方程形式： ①椭圆的标准方程：
i. 中心在原点，焦点在x轴上：
y2a2x2a2?y2b2?1(a?b?0). ii. 中心在原点，焦点在y轴上：
?x2b2?1(a?b?0).
22②一般方程：Ax?By?1(A?0,B?0).③椭圆的参数方程：
x2a2?y2b2?1的参数方程为▲y?x?acos??（一象限?应是属于0???）. ?2?y?bsin? 注意：椭圆参数方程的推导：得N(acos?,bsin?)?方程的轨迹为椭圆. (bcos?,bsin?)(acos?,asin?)Nx3．椭圆的性质： N的轨迹是椭圆①顶点：(?a,0)(0,?b)或(0,?a)(?b,0).②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b.③焦点：(?c,0)(c,0)或(0,?c)(0,c).④焦距：F1F2?2c,c?a?ba2c.⑥离心率：e?(0?e?1).⑦焦半径： y??ca22a2.⑤准线：x??或
ci. 设P(x0,y0)为椭圆
x2a2?y2b2?1(a?b?0)上的一点，F1,F2为左、右焦点，则：
PF?a?ex,PF?a?ex1020a2a2证明：由椭圆第二定义可知：pF1?e(x0?)?a?ex0(x0?0),pF2?e(?x0)?ex0?a(x0?0)归结起
cc来为“左加右减”.
ii.设P(x0,y0)为椭圆
x2b2?y2a2?1(a?b?0)上的一点，F1,F2为上、下焦点，则：
PF1?a?ey0,PF2?a?ey0b2b22b2⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通径： d?2；坐标：(c,),(?c,)
aaa4．共离心率的椭圆系的方程：椭圆程
x2a2?y2b2x2a2?y2b2?1(a?b?0)的离心率是e?c(c?a2?b2)，方a?t(t是大于0的参数，a?b?0)的离心率也是e?c 我们称此方程为共离心率的a椭圆系方程. 5．若P是椭圆：
x2a2?y2b2?1上的点.F1,F2为焦点，若?F1PF2??，则?PF1F2的面积为
b2tan?2（用余弦定理与PF1?PF2?2a可得）. 若是双曲线，则面积为b2?cot?2.
二、双曲线方程.
1. 双曲线的第一定义：
PF1?PF2?2a?F1F2方程为双曲线PF1?PF2?2a?F1F2无轨迹PF1?PF2?2a?F1F2以F1,F2的一个端点的一条射线
2．双曲线的方程：
①双曲线标准方程：
Ax2?Cy2?1(AC?0).
x2a2?y2b2?1(a,b?0),y2a2?x2b2?1(a,b?0). 一般方程：
3．双曲线的性质：
a2①i. 焦点在x轴上： 顶点：(a,0),(?a,0) 焦点：(c,0),(?c,0) 准线方程x?? 渐近线
cx2y2xy方程：??0或2?2?0ii. 焦点在y轴上：顶点：(0,?a),(0,a). 焦点：(0,c),(0,?c). 准
abab?x?asec?y2x2yxa2线方程：y??. 渐近线方程：??0或2?2?0，参数方程：?或
y?btan?cabab??x?btan? . ?y?asec??2a2c②轴x,y为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率e?. ④准线距
ca2b2c（两准线的距离）；通径. ⑤参数关系c2?a2?b2,e?. ⑥焦半径公式：对于双曲线
aa方程
x2a2?y2b2?1（F1,F2分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）
“长加短减”原则：
MF1?ex0?aMF2?ex0?a 构成满足MF1?MF2?2a
▲M?F1??ex0?aM?F2??ex0?ay（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半
径要带符号计算，而双曲线不带符号） MF1?ey0?aMF2?ey0?aM?F1??ey0?a?M?F2??ey0?a?M'▲yF1MM
xF1F2M'F2x4． 等轴双曲线：双曲线x2?y2??a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y??x，离心率e?2. 5．共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共x2y2x2y2轭双曲线.2?2??与2?2???互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：
ababx2a2?y2b2?0.
x2a26．共渐近线的双曲线系方程：?y2b2??(??0)的渐近线方程为
x2a2?y2b2?0如果双曲线的
x2y2xy渐近线为??0时，它的双曲线方程可设为2?2??(??0).
abab例如：若双曲线一条渐近线为y?11x且过p(3,?)，求双曲线的方程？ 224▲y1x2y2x22解：令双曲线的方程为：??1. ?y??(??0)，代入(3,?)得
28247．直线与双曲线的位置关系：
321F2xF153区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；
3区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条； 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.
注意：⑴过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.
⑵若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与“?”渐近线求交和两根之和与两根之积同号.
⑶若P在双曲线
x2a2?y2b2?1，则常用结论1：P到焦点的距离为m 与n，则P到两准
PF1线的距离比为m︰n. 简证：
d1m. ?e =
d2PF2ne⑷：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.
三、抛物线方程.
设p?0，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
y2??2px y2?2px 图形 ▲x2?2py ▲x2??2py ▲y▲yyyxOxOxOxO 焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 F(p,0) 2p 2F(?x?p,0) 2p 2 F(0,y??p) 2p 2 F(0,?y?p) 2 x??p 2x?0,y?R x?0,y?R x轴 x?R,y?0 x?R,y?0 y轴 （0，0） e?1 焦点 PF?2p?x1 2PF?p?x1 2PF?p?y1 2PF?p?y1 24ac?b2b注意：⑴ay?by?c?x顶点(?).
4a2a⑵y2?2px(p?0)则焦点半径PF?x?P;x2?2py(p?0)则焦点半径为PF?y?P.
22⑶通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.
?x?2pt2?x?2pt⑷y?2px（或x?2py）的参数方程为?（或?）（t为参数）. 2?y?2pt?y?2pt22⑸关于抛物线焦点弦的几个结论：设AB为过抛物线 y=2px (p>0 )焦点的弦，A(x1 ，y1)、
2
p22p2
B (x2 ,y2 ) ,直线AB的倾斜角为θ，则：① x1x2=， y1y2=－p ; ② |AB|=；③
4sin2?以AB为直径的圆与准线相切；④焦点F对A、B在准线上射影的张角为90；⑤
0
112??. |FA||FB|P四、圆锥曲线的统一定义.
1. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹. 当0?e?1时，轨迹为椭圆； 当e?1时，轨迹为抛物线； 当e?1时，轨迹为双曲线； 当e?0时，轨迹为圆（e?c，当c?0,a?b时）. a2. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.
因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可.
x2y2? =1（m>0，3. 当椭圆的焦点位置不明确，而无法确定其标准方程时，可设方程为
mnn>0且m≠n），这样可以避免讨论和繁杂的运算，椭圆与双曲线的标准方程均可用简单形式 22
mx+ny=1（mn≠0）来表示，所不同的是：若方程表示椭圆，则要求m>0，n>0且m≠n ； 若方程表示双曲线，则要求mn<0，利用待定系数法求标准方程时，应注意此方法的合理使用，以避免讨论。
4. 双曲线是具有渐近线的曲线，复习中要注意以下两个问题：
x2y2（1）已知双曲线方程，求它的渐近线方程，将双曲线的标准方程 2?2?1中的常
abx2y2xy
数“1”换成“0”，即得 2?2=0，然后分解因式即可得到其渐近线方程 ?=0；若
abab
求中心不在原点，对称轴平行于坐标轴的双曲线的渐近线方程，只需将双曲线方程x，y分
别配方，然后将常数“1”换成“0”，再分解因式，则可得渐近线方程，例如双曲线
y2y22(x?2)?2=1的渐近线方程为(x?2)?2=0，即y±3（x+2），因此，如果双曲线的方
332程已经确定，那么它的渐近线方程也就确定了。
（2）求已知渐近线的双曲线方程，已知渐近线方程为ax?by=0时，可设双曲线方程为
a2x2?b2y2??(??0)，再利用其他条件确定?的值，求法的实质是待定系数法，如果已
知双曲线的渐近线，双曲线方程却不是惟一确定的。
5、在建立抛物线的标准方程的坐标系时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。
五．直线和圆锥曲线的位置关系:相交，相切，相离。
1．直线与圆锥曲线C位置关系的判断:
判断直线与圆锥曲线C的位置关系时，将直线的方程代入曲线C的方程，消去y（也可消去x）得一个关于变量x（或y）的一元二次方程ax+bx+c=0。 ①当a≠0时，
若Δ＞0，则与C相交； 若Δ=0，则与C相切； 若Δ＜0，则有与C相离。
②当a=0时，即得到一个一次方程，若方程有解，则直线与C相交，此时只有一个公共点
若C为双曲线，则平行于双曲线的渐近线； 若C为抛物线，则平行于抛物线的对称轴。
注意：当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时，直线和双曲线、抛物线可能相切，也可能相交。
2．直线被圆锥曲线截得的弦长公式： 斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB，设 弦长公式：
，
，则
2
当时, 弦长公式还可以写成：
高三-圆锥曲线知识点总结
