习题 101 1. 设在 xOy 面内有一分布着质量的曲线弧 L, 在点(x, y)处它的线密度为
μ(x, y), 用对弧长的曲线积分分别表达:
(1) 这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量Ix, Iy; (2)这曲线弧的重心坐标 x , y . 解 在曲线弧 L 上任取一长度很短的小弧段 ds(它的长度也记做 ds), 设(x, y) 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量元素分别为 dIx=y2μ(x, y)ds, dIy=x2μ(x, y)ds . 曲线于 x 轴和 y 轴的转动惯量分别为
I x = ∫ y 2μ ( x, y)ds , I y = ∫ x2μ ( x, y)ds .
L L
ww
w. kh d
∫L ∫L
和L2, 则
2. 利用对弧长的曲线积分的定义证明: 如果曲线弧L分为两段光滑曲线L1
∫L f (x, y)ds =∫L
n
课
x=
L 对M y ∫L xμ ( x, y)ds M ∫ yμ (x, y)ds = , y= x = L . M M μ ( x, y)ds μ(x, y)ds
后
曲线 L 的重心坐标为
1
f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds .
L2
证明 划分L, 使得L1和L2的连接点永远作为一个分点, 则
∑ f (ξi,ηi )Δsi = ∑ f (ξi,ηi )Δsi +
i =1 i =1 n n1
n1
答
dMx=yμ(x, y)ds, dMy=xμ(x, y)ds .
令λ=max{Δsi}→0, 上式两边同时取极限
λ →0 λ →0
lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi = lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi + lim
i =1 i =1
即得
∫L f (x, y)ds =∫L
1
f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds .
L2
3. 计算下列对弧长的曲线积分:
aw
i = n1 +1
曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的静矩元素分别为
案
∑ f (ξi,ηi )Δsi . ∑ f (ξi,ηi )Δsi ,
n
n1
λ →0
.c o
i = n1 +1
为小弧段 ds 上任一点.
网
m
(1) ∫ ( x2 + y 2 )n ds , 其中 L 为圆周 x=acos t , y=asin t (0≤t≤2π);
L
解
∫L (x2 + y2)n ds = ∫0
2π 0 2π
2π
(a 2 cos2 t + a 2 sin 2 t)n (a sin t)2 + (a cos t)2 dt
= ∫ (a 2 cos2 t + a 2 sin 2 t)n (a sin t)2 + (a cos t)2 dt
0
L
解 L 的方程为 y=1x (0≤x≤1);
1
ww
w. kh d
1 1
0
课
= ∫ x 1+[(x2 )′]2 dx +∫ x 1+ ( x′)2 dx
0
1
后
∫L xdx = ∫L xdx + ∫L
xdx
1
2
= ∫ x 1+ 4x 2 dx +∫ 2 xdx = 1 (5 5 + 6 2 1) . 0 0 12
x2 + y2 L
(4) ∫ e
ds , 其中L为圆周x2+y2=a2, 直线y=x及x轴在第一象限内所围成
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