2009研究生数值分析试题和答案-石家庄铁道大学
石 家 庄 铁 道 学 院 2009级硕士研究生考试试卷 课程名称 数值分析 任课教师 王亚红 2009 年— 2010 年度第 I 学期 姓名 学号 评分 时间 120分钟 题号 分值 得分 一 30 二 16 三 20 四 16 五 18 合计 100 填空 (30分) 一0??20??1．A??0?21?,x?(1,2,?3)T，则A?? ,x?00?2????? . 2．f(x)?4x3?3x2?2,则f?2,4,6,8?? ?123??6????11?,第一次选的列主元2453．用Gauss列主元消去法解方程组????????356????8??为 . 4．设f(x)?C[a,b],P(x) 是多项式，则f(x)?P(x)?? 5．满足P(0)?P?(0)?0,P(1)?1,P(2)?12的不高于3次的插值多项式为 ,其余项为 . 6．为使两点数值求积公式：?f(x)dx?f(x1)?f(x2)具有最高的代数精度，?11则其求积节点x1? ，x2? . ?x?ax2?47.用G-S迭代法解方程组?1，其中a为实数，G-S迭代法收2ax?x??32?1敛的充要条件是a满足 8．写出用牛迭代法求方程x2?117的正根117的迭代公式 1 / 6 2009研究生数值分析试题和答案-石家庄铁道大学
?21???9．将A??121?做Cholesky分解，L= ?12????1?1?1?10．设U=??????2...????, d= ...?1?n?1??1??d1????d2??...?，Ux=d 的求解公式为 ???d??n? ?4??211??x =?6?; 二（16分）方程组?312???????5???122?? 1．请用直接三角分解（LU分解）解此方程组； 2．写出解此方程组的Jacobi 迭代法的分量形式。 三（20分）已知数据 X Y -1 1 2 3 -3 0 4 8 1. 请作出差商表，求三次牛顿均差插值多项式； 2. 试用y?ax?b拟和这组数据。 四(16分) 1．设xi为等距节点,写出满足L(xi)?f(xi)(i?0,1,2)的插值多项式L2(x);并利用L2(x),试推导f'(x0)的插值型求导公式. ?(x)的值作为f'(x)的近似值？为什么？ 2．能否用x?(x0,x1),L2~五（18分）1．取I0为I0?2的三位有效数字1.41，计算序列?In?的递推公式为：In?10In?1?1,n?1,2,?，则I10的误差多大？这个算法稳定吗？ 2．设方程组Ax?b，若实际求的近似解为x， 证明 x?xx?cond(A)b?Axb 2 / 6
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若Ax?Ax已很小，能否说明x已很近似Ax?b的精确解x吗？
石家庄铁道学院 2009 级硕士研究生考试试卷参考答案及评分标准
课程名称 数值分析 任课教师 王亚红
一.(1-6题 2分/空;7-10题 3分/空)
1. 3，3 2. 4 3. -3 4. maxf(x)?P(x)
a?x?b33f(4)(?)21,x2?x(x?1)(x?2)6. x1??5. x(?x?2), 7. a? 334!223 / 6
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8.xk?1?2?x?117?xk?,k?0,1,2,?9. L??122xk??2k3/22/32??? 3??xn?dn?,k?n?1,n?2,...,1 10.?x?d??xkkk?1?k?211??111???2?????1/21/2?二(16分).1. 解 :?312? =??3/21???------8分
???3????122???1/2?31???4???解Ly?b,得y??0?
?3????1???解Ux?y,得x??1?. -----------------------------------------------12分
?1???2.Jacobi迭代法计算公式:初始向量x(0)
(k)(k)?x1(k?1)?(4?x2?x3)/2?(k?1)(k)(k)?x2?(6?3x1?2x3), k?0,1,2,? ?x(k?1)?(5?x(k)?2x(k))/212?3 ------------------------------16分
三.1.(10分)差商表 X -1 1 2 3 Y -3 0 4 8 3/2 4 4 4 / 6
一阶差商 二阶差商 三阶差商 5/6 0 -5/24 -----------------------------------7分
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N3(x)?f(x0)?f[x0,x1](x?x0)?f[x0,x1,x2](x?x0)(x?x1)?f[x0,x1,x2,x3](x?x0)(x?x1)(x?x2)355??3?(x?1)?(x?1)(x?1)?(x?1)(x?1)(x?2)2624--------------------10分
2.(10分)根据最小二乘原理I??((axi?b)?yi)2最小，----2分
i?03
??I?0???b有?
?I??0???a?4即???xi??x?xi2i??b???yi?????????a???yx?----------------------8分
ii??????45??b??9?即??515????a?????36??，解得b=1.2857，a=2.8286 ??????拟合曲线y?2.8286x?1.2857 ----------------------10分 四(16分)
解: 1．L(x)?f(x0)(x?x0)(x?x2)(x?x1)(x?x2)?f(x1)
(x0?x1)(x0?x2)(x1?x0)(x1?x2)+f(x2)'(x?x0)(x?x1) ------------------------------6分
(x2?x0)(x2?x1)计算L(x0)?1??3f?x0??4f?x1??f?x2?? ----------------9分 2hf'(x0)?L'(x0)
=
1??3f?x0??4f?x1??f?x2?? ------------------------------------------12分 2h5 / 6
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