2013年全国高中数学联赛陕西赛区预赛
试题参考答案及评分标准
第 一 试
1.设A、B是两个非空的有限集，全集
中所含元素的个数为______. . )(
)=
(
)，由韦恩图知，
中含有
个元素.
，且U中含有m个元素.若(
)(
)中含有n个元
素，则
解：注意到，(
2.已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足
.
则 的值是______.
解：
.
由题设及正弦定理，得
.
中，已知三点
.若向量
与
在向量
方向上的投影
故 =
3.在直角坐标系
相同，则
解：2.
的值是______.
[方法1]向量依题意得故
、·.
在向量 =
·
方向上的投影分别为，即
.
.
[方法2]因为向量与在向量
·
方向上的投影相同，所以 = 0.
即
AB⊥OC，即
所以，即3a – 4b = 2.
4.已知正三棱锥P-ABC的侧棱与底面所成的角为45°，则相邻两侧面所成角的余弦值为______. 解：. 如图1，设正三棱锥P-ABC的底面边长为a，E为AB的中点，则∠PCE为侧棱PC与底面ABC所成的角，
. 过点A作AF⊥PC，垂足为F，由对称性知，BF⊥PC，故∠AFB为
PF侧面PAC与PBC所成的角.
在等腰直角△EFC中，所以. .
图 1. AEBC在△AFB中，cos∠AFB = 5.已知三个互不相等的整数x、y、z之和介于40与44之间，若x，
y，z依次构成公差为d的等差数列，的值是______.
解：42. 由，得. 依次构成公比为q的等比数列，则dq
1
又由因为又 ，得，所以，所以，即. . .从而. . .
因为y为整数，所以所以故d·q = 42. 6.设点P、Q分别在直线.则
的取值范围是______.
和上运动，线段PQ的中点为，且
解：[1，3) . [方法1]设P(
)、Q(
)，则
. ，即，则在. 上. ， ：y=3x-4 (x≥2)上，其中点.
2M04yM，，且
以 两式相加，得所以从而，故1.
.
上单调递增. [方法2]易知，点M在直线又点M的坐标满足所以点M在如图2所示的射线因为. 表示射线上的点与原点O连线的斜率，所
7.在一个圆上随机取三个点，顺次连结成一个三角形，则该三角形为锐角三角o2图 24x形的概率是______. 解：. 不妨设△ABC是半径为1的圆的任一内接三角形，∠A、∠B所对的弧长分别为x、y，则有 ， . yQ2π 这个不等式组表示如图3所示的△POQ区域（不含边界），其面积为
. 若△ABC为锐角三角形，则x、y满足 ， ， . EF2πoD图 3 Px 这个不等式组表示如图3所示的△DEF区域（不含边界），其中D、E、F
.
分别为OP、OQ、PQ的中点，其面积为 故所求概率为8.设. ，则M的个位数字为______.
2
解：1. 设a、b为正整数，则从而，所以又的个位数字与的个位数字与的个位数字与的个位数字与的个位数字相同.
的个位数字相同为3. 的个位数字相同为3. 的个位数字相同为8，
故M的个位数字与9.若对任意解：
.
的个位数字相同为1. ，都有
，则
的值是______.
[方法1]由题设知，对任意，都有
，
，
….
， ， ， ， .
其中，项的系数为
所以 故
.
，得
.
，
，
， 解得 ， .
[方法2]在已知等式中，令代入已知等式，化简得令
，得
.
.
代入上式，化简得再令
，得
. ，
.
.
用同样的方法，得故10.
.
若
______.
则
解：4.
(1)若存在正整数j，使得上式等号可以成立.例如，取(2)若对任意正整数i，都有
或
.
且
，则有或
.
.
，
，矛盾.
(，(
…，5，规定，
，…，5，规定
，)，则
. )，则要么
且
，要么
.
如果因此，
对以上两种情况，都有从而，
.
综合(1)、(2)，M的最大值为4.
3
2013年全国高中数学联赛陕西赛区预赛详细参考答案
