第二章习题
习题2.1 设随机过程X(t)可以表示成：
X(t)?2cos(2?t??), ???t??
式中，?是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P(?=0)=0.5，P(?=?/2)=0.5 试求E[X(t)]和RX(0,1)。
解：E[X(t)]=P(?=0)2cos(2?t)+P(?=/2)2cos(2?t??2)=cos(2?t)?sin2?t
cos?t
习题2.2 设一个随机过程X(t)可以表示成：
X(t)?2cos(2?t??), ???t??
判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解：为功率信号。
RX(?)?limT??1?limT??T1T?T/2?T/2X(t)X(t??)dt
?T/2?T/22cos(2?t??)*2cos?2?(t??)???dt?2cos(2??)?ej2?t?e?j2?t
?j2?f?j2?tP(f)???d?????e?j2?t)e?j2?f?d???RX(?)e??(e??(f?1)??(f?1)
习题2.3 设有一信号可表示为：
4exp(?t) ,t?0 X(t)?{0, t<0试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解：它是能量信号。X(t)的傅立叶变换为：
?j?t?????(1?j?)tX(?)????dt??04e?te?j?tdt?4?0edt???x(t)e24 1?j?则能量谱密度 G(f)=X(f)=
2416? 221?j?1?4?f习题2.4 X(t)=x1cos2?t?x2sin2?t，它是一个随机过程，其中x1和x2是相互统计独立的高斯随机变量，数学期望均为0，方差均为?2。试求：
(1)E[X(t)]，E[X2(t)]；(2)X(t) 的概率分布密度；(3)RX(t1,t2)
解：(1)E?X?t???E?x1cos2?t?x2sin2?t??cos2?t?E?x1?sin2?t?E?x2???0
PX(f)因为x1和x2相互独立，所以E?x1x2??E?x1??E?x2?。
2又因为E?x1??E?x2??0，?2?Ex12?E2?x1?，所以Ex12?Ex2??2。 2故 EX2?t??co2s2?t?sin2?t?2??2
??????????(2)因为x1和x2服从高斯分布，X?t?是x1和x2的线性组合，所以X?t?也服从高斯分
?z2??。 布，其概率分布函数p?x??exp??2??2?2????1(3)RX?t1,t2??E?X?t1?X?t2???E?(x1cos2?t1?x2sin2?t1)?x1cos2?t2?x2sin2?t2?? ??2?co2s?t1co2s?t2?sin2?t1sin2?t2? ??2co2s??t2?t1?
习题2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件： (1)??f??cos22?f； (2)a???f?a?； (3)expa?f2
解：根据功率谱密度P(f)的性质：①P(f)?0，非负性；②P(-f)=P(f) ，偶函数。可以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件，(2)不满足。
习题2.6 试求X(t)=Acos?t的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。 解：R(t，t+?)=E[X(t)X(t+?)] =E?Acos?t*Acos(?t??)?
12A2?AE?cos???cos?(2t??)??cos???R(?) 22A2功率P=R(0)=
2??
习题2.7 设X1?t?和X2?t?是两个统计独立的平稳随机过程，其自相关函数分别为RX1???和RX2???。试求其乘积X(t)=X1(t)X2(t)的自相关函数。
解：
(t,t+)=E[X(t)X(t+)]=E[X1(t)X2(t)X1(t??)X2(t??)]
=E?X1(t)X1(t??)?E?X2(t)X2(t??)?=RX1(?)RX2(?)
习题2.8 设随机过程X(t)=m(t)cos?t，其中m(t)是广义平稳随机过程，且其自相关函数为
?10?4f2,?10 kHZ?f?10 kHZPX(f)?? 0,其它?(1)试画出自相关函数RX(?)的曲线；(2)试求出X(t)的功率谱密度PX(f)和功率P。
?1??, ?1???0?0???1 解：(1)Rx?????1???0,其它?其波形如图2-1所示。
1 0 1 Rx???12?图2-1信号波形图
(2)因为X(t)广义平稳，所以其功率谱密度PX????RX???。由图2-8可见，RX???的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积，因此
Px?????1P?2?
11???????????0???????0???Sa2??1?2?2?2?1?2????0?2????0??Sa?Sa?????4?22??????
????Px???d??11,或S?Rx?0?? 22习题2.9设信号x(t)的傅立叶变换为X(f) =。
解：x(t)的能量谱密度为G(f)=X(f)=
2sin?f。试求此信号的自相关函数?f2sin?f ?f?1??, ?1???0?j2?f?df??1??0???1 其自相关函数RX?????????G(f)e?0,其它?
习题2.10 已知噪声n?t?的自相关函数Rn????k-k?e，k为常数。 2(1)试求其功率谱密度函数Pn?f?和功率P；(2)画出Rn???和Pn?f?的曲线。 解：(1)Pn(f)??????Rn(?)e?j??d???????k?k??j??k2 eed??22k?(2?f)2
通信原理教程 樊昌信 习题答案第二章.
