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2017高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4.2 基本不等式的综合
应用对点训练 理
1.在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点E和F分
→
→
→
别在线段BC和DC上,且BE=λBC,DF=
29答案
18
解析 以点A为坐标原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,则B(2,0),→→→?3??1?→?1?111333?3?????????,
C?,,D,.又BE=λBC,DF=DC,则E2-λ,,F+,λ??22??2??9λ2??22??????29λ2?
1→
→→
9λDC,则AE·AF的最小值为________.
?1??11?3172117λ>0,所以AE·AF=?2-λ??+?+λ=++λ≥+2
?2??29λ?4189λ218
→→
1229
且仅当=λ,即λ=时取等号,故AE·AF的最小值为.
9λ2318
2
→→
2129
·λ=,λ>0,当9λ218
2.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是________(单位:元).
答案 160
解析 设池底长x m,宽y m,则xy=4, 4
所以y=,则总造价为:
xf(x)=20xy+2(x+y)×1×10=80+
?4?80
+20x=20?x+?+80,x∈(0,+∞).
x?
x?
可编辑
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所以f(x)≥20×2低总造价是160元.
44
x·+80=160,当且仅当x=,即x=2时,等号成立.所以最
xx→→
3.在△ABC中,已知AB·AC=9,sinB=cosAsinC,S△ABC=6,P为线段AB上的点,→且CP=x·→
→+y·
CA→
CB→
,则xy的最大值为________.
|CA|答案 3
|CB|
→→
解析 由AB·AC=9,得bccosA=9. 由sinB=cosAsinC,得b=ccosA.
134
由S△ABC=6,得bcsinA=6,由上述三式可解得b=3,c=5,cosA=,sinA=,
255由余弦定理得
a2=32+52-2×3×5×
3
=16,a=4,可见△ABC是直角三角形,以C为坐标5
→
→
→
原点,CA,CB分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则CA=(3,0),CB=(0,4),
CA→
=|CA|
→
(1,0),
CB→|CB|→
=(0,1),
→→+y·
则CP=x·CA→
CB→
=x(1,0)+y(0,1)=(x,y),
|CA||CB|
又P在直线AB上,故有+=1(x>0,y>0).
34∵1=+≥234
xyxy·,∴xy≤3. 34
xy可编辑
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xy13
当且仅当==,即x=,y=2时等号成立.
3422
4.首届世界低碳经济大会在南昌召开,本届大会以“节能减排,绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80000,且每处理一吨二
2氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?
(2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损?
解 (1)由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为=
1
yx12
x+
80000
x-
200≥2
180000x·-200=200, 2x180000
当且仅当x=,即x=400时等号成立,
2x故该单位月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为200元.
?1?
2
(2)不获利.设该单位每月获利为S元,则S=100x-y=100x-?x-200x+80000?
?2?
11
2=-x+300x-80000=-(x-300)2-35000,因为x∈[400,600],所以S∈[-80000,22-40000].
故该单位每月不获利,需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损.
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