专题11平面解析几何大题强化训练(省赛试题汇编)
1．【2024年广西预赛】已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点直线l与该椭圆交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求
设不过原点O的面积的取值范围．
【答案】（0，1） 【解析】 设椭圆方程为
），则
，
解得，故椭圆方程为.
.
由题设可知直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为令P（由则有且
.
.
由直线OP、PQ、OQ的斜率构成等比数列可得从而由由
，可知.
.
.
.
所以
的取值范围为（0，1）. ），Q（
），则消去y得
.
. ，
，
设d为点O到直线l的距离，则
2．【2024年安徽预赛】设O是坐标原点，双曲线C：A、B两点.
⑴求证：△AOB的面积S是定值； ⑵求△AOB的外心P的轨迹方程. 【答案】（1）见解析（2）【解析】 ⑴双曲线在M（得A（从而
⑵由⑴可设A（由从而有
上述两式相乘，得P的轨迹方程为
3．【2024年湖南预赛】已知抛物线的顶点
，焦点
），B（，得
.
.
）=
）处的切线方程为
，B（是定值.
），P（x，y），λ为非零常数.
）=
上动点M处的切线，交C的两条渐近线于
，与渐近线方程联立， .
.
，另一抛物线的方程为
在一个交点处它们的切线互相垂直.试证必过定点，并求该点的坐标.
【答案】过定点，该定点的坐标为【解析】 中的设交点为即
同理可得，的切线方程为
，
即
由题意知二者垂直，从而可得
.
，方程
，则的切线方程为
. ，即
.
，
.
，
整理得由
. ①
，相加得
，②
①-②
，可得
. ③
代入得方程整理即可得
，
即由方程组
即对任何满足③的a、b，点
， 解得
.
.
在曲线上，即过定点，该定点的坐标为
4．【2024年湖南预赛】如图，在凸四边形ABCD中，M为边AB的中点，且MC=MD.分别过点C、D作边BC、AD的垂线，设两条垂线的交点为P.过点P作
与Q.求证：
.
【答案】见解析 【解析】
如图，连结PA、PB，分别取PA、PB的中点E、F，连结EM、ED、FM、FC，则四边形PEMF为平行四边形，从而∠PEM=∠PFM.
专题11 平面解析几何大题强化训练(省赛试题汇编)(解析版)
